宇宙論の問題

平坦なアインシュタイン–ド・ジッター宇宙（物質のみで宇宙の膨張が決まる宇宙）を考える。スケール因子は $a\propto t^{2/3}$、ハッブル・パラメータは $H=\dot{a}/a$、背景の物質密度を $\bar{\rho }$ とする。この物質は圧力をもつ完全流体とし、圧力は膨張に影響しないほど小さい（$p\ll \bar{\rho }{c}^2$）とする。共動波数 $k$ の密度ゆらぎ ${\delta }_k(t)$ は、線形近似・ニュートン近似（ホライズンより十分小さいスケール）の範囲で
$${\ddot{\delta }}_k+2H{\dot{\delta }}_k=\left(4\pi G\bar{\rho }-\frac{c_s^2{k}^2}{a^2}\right){\delta }_k$$
に従うとする。ここで $c_s$ は音速で、断熱的に $c_s^2\propto a^{-1}$ と変化するものとする。共動ジーンズ波数を
$$k_J\equiv \frac{a\sqrt{4\pi G\bar{\rho }}}{c_s}$$
で定義する。$0<k<k_J$ のとき、成長モードは ${\delta }_k\propto a^m$ と表される。指数 $m$ を $k$ と $k_J$ を用いて表せ。

空間的に平坦で、非相対論的物質が支配する宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。スケール因子は $a(t)\propto t^{2/3}$（$t>0$）、ハッブル・パラメータは $H=\dot{a}/a$、平均密度 $\bar{\rho }$ は $H^2=\frac{8\pi G}{3}\bar{\rho }$ を満たす（$G$ は万有引力定数）。

物質は小さな圧力をもち、その音速 $c_s$ は $a^{-1/2}$ に比例して変化するとする。共動波数 $k$ の密度ゆらぎ ${\delta }_k(t)$ は線形の方程式
$${\ddot{\delta }}_k+2H{\dot{\delta }}_k=\left(4\pi G\bar{\rho }-\frac{c_s^2{k}^2}{a^2}\right){\delta }_k$$
に従い、ジーンズ波数を $k_J=\frac{a\sqrt{4\pi G\bar{\rho }}}{c_s}$ で定義する。このとき $k_J$ は時間によらない定数になる。

$k=\frac{k_J}{2}$ のゆらぎについて、方程式が ${\delta }_k\propto t^n$ の形の解をもつような実数 $n$ のうち、大きいほう（成長モードの指数）を求めよ。

空間的に平坦で、圧力のない物質だけを含む宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。スケール因子は $a(t)\propto t^{2/3}$（$t>0$ は宇宙時間）で、ハッブル・パラメータ $H=\dot{a}/a$ と平均密度 $\bar{\rho }$ はフリードマン方程式 $H^2=\frac{8\pi G}{3}\bar{\rho }$ を満たす（$G$ は万有引力定数）。

ホライズンより十分小さいスケールの物質の密度ゆらぎ $\delta (t)$ は、圧力を無視した線形の方程式
$$\ddot{\delta }+2H\dot{\delta }=4\pi G\bar{\rho }\delta$$
に従う。この方程式が $\delta \propto t^n$ の形の解をもつような指数 $n$ をすべて求め、集合として答えよ。

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。標準的な宇宙の熱史に、仮想的なディラック・フェルミオン $\chi$（粒子と反粒子、それぞれスピン自由度 2、合計の内部自由度 $g_{\chi }=4$、質量 $m_{\chi }$）を付け加えた模型を考える。$\chi$ は電磁相互作用をもち、光子・電子・陽電子とは熱平衡にあるが、ニュートリノとは直接相互作用しないとする。

3 世代のニュートリノ（質量は無視し、各世代とも粒子と反粒子それぞれ 1 つのヘリシティ状態のみをもつ）は、温度 $T_d$ で瞬間的に脱結合するとする。$T_d$ において ${\chi }^{\pm }$（$\chi ,\bar{\chi }$）と $e^{\pm }$ はともに相対論的（$m_{\chi },m_e\ll T_d$）であり、その後、宇宙の膨張にともなって $\chi \bar{\chi }$ と $e^{+}{e}^{-}$ はいずれも完全に対消滅して、そのエネルギーとエントロピーはすべて光子に渡されるとする。対消滅は熱平衡を保ちながら進み（エントロピーは保存する）、ニュートリノには一切エネルギーが渡らないとする。化学ポテンシャルはすべて無視する。

十分後の時期（$T_{\gamma }\ll m_e$）において、光子温度を $T_{\gamma }$、ニュートリノ温度を $T_{\nu }$ とし、有効ニュートリノ数 $N_{\mathrm{eff}}$ を
$${\rho }_{\mathrm{rad}}={\rho }_{\gamma }\left[1+\frac{7}{8}{\left(\frac{4}{11}\right)}^{4/3}{N}_{\mathrm{eff}}\right]$$
で定義する（${\rho }_{\mathrm{rad}}$ は光子とニュートリノのエネルギー密度の和、${\rho }_{\gamma }$ は光子のエネルギー密度）。この模型における $N_{\mathrm{eff}}$ を正確な形（累乗を含む式）で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。標準模型に、質量が無視できる実スカラー場 $\varphi$（内部自由度 $1$）を加えた初期宇宙を考える。$\varphi$ は高温で標準模型の熱浴と熱平衡にあったが、温度 $T_d$ で瞬間的に脱結合し、その後はどの粒子とも相互作用せず、質量ゼロの粒子として自由に膨張するものとする。$T_d$ において、$\varphi$ を除いた熱浴のエントロピーの有効自由度は $g_{\ast s}(T_d)=\frac{427}{4}$ である。

その後、熱浴は断熱的に膨張する。温度 $T\simeq 1\mathrm{MeV}$ では、熱浴に含まれる相対論的粒子は光子、電子・陽電子、および3世代のニュートリノ・反ニュートリノ（各世代とも左巻きニュートリノと右巻き反ニュートリノのみ）だけである。この温度でニュートリノが瞬間的に脱結合し、その後に電子・陽電子対消滅が起こって、そのエントロピーはすべて光子に移るとする。各粒子はボース分布・フェルミ分布の相対論的極限に従い、化学ポテンシャルは無視する。

現在（電子・陽電子が消滅し尽くした後）の放射のエネルギー密度を
$${\rho }_{\mathrm{rad}}={\rho }_{\gamma }\left[1+\frac{7}{8}{\left(\frac{4}{11}\right)}^{4/3}{N}_{\mathrm{eff}}\right]$$
と書くとき、$\varphi$ による寄与 $\Delta N_{\mathrm{eff}}$（すなわち ${\rho }_{\varphi }$ を上式の $N_{\mathrm{eff}}$ の項として表したときの係数）を、分数と累乗を用いた厳密な形で求めよ。