密度ゆらぎの線形成長と成長因子

この方程式は、膨張宇宙の中のニュートン流体（圧力なし）の連続の式・運動方程式・重力のポアソン方程式を、一様な膨張からのずれについて 1 次まで展開すると得られます。右辺 $4\pi G\bar{\rho }\delta$ は、密度が平均より高い所ほど余分な重力で物質を引き寄せてゆらぎを増やす「自己重力」の項で、$\bar{\rho }$ は集まる成分の平均密度です。左辺の $2H\dot{\delta }$ は、宇宙膨張によって物質が引き離されるため成長にブレーキがかかる「ハッブル摩擦」の項です。膨張がなければ $\ddot{\delta }=4\pi G\bar{\rho }\delta$ で指数関数的に成長しますが、膨張のせいで成長はゆるやかなべき型になります。

べき型の解が使えるのは、両方の係数が $t$ のべきになるときです。$a\propto t^p$ なら $H=p/t$ です。一方、集まる成分は圧力がないので $\bar{\rho }\propto a^{-3}\propto t^{-3p}$、全密度はフリードマン方程式 $H^2=\frac{8\pi G}{3}{\rho }_{\mathrm{tot}}$ から ${\rho }_{\mathrm{tot}}\propto t^{-2}$ です。したがって割合 $f=\bar{\rho }/{\rho }_{\mathrm{tot}}\propto t^{2-3p}$ が一定になるのは $p=\frac{2}{3}$ のとき、つまり宇宙全体が物質的な成分（集まる成分と、一様なままの物質的な成分）だけで膨張している場合に限ります。この場合 $4\pi G\bar{\rho }=\frac{3}{2}f{H}^2=\frac{2f}{3t^2}$ となり、方程式に $t^2$ を掛けると
$$t^2\ddot{\delta }+\frac{4}{3}t\dot{\delta }-\frac{2f}{3}\delta =0$$
というオイラー型の方程式になります。$\delta =t^n$ を代入すると特性方程式 $n(n-1)+\frac{4}{3}n-\frac{2f}{3}=0$、すなわち $n^2+\frac{1}{3}n-\frac{2f}{3}=0$ が得られ、その 2 つの根が 2 つの独立解の指数です。$f=1$ では $(3n-2)(n+1)=0$ で $n=\frac{2}{3},-1$。$a\propto t^{2/3}$ なので成長モードは $\delta \propto t^{2/3}\propto a$、減衰モードは $\delta \propto t^{-1}\propto a^{-3/2}$ です。減衰モードはすぐに効かなくなるので、成長モードの $a$ のべきを「成長因子の指数」と呼びます。一般の一定の $f$ では正の根から $\delta \propto a^q$, $q=\frac{-1+\sqrt{1+24f}}{4}$ となり、$f<1$ なら $q<1$ です。

放射優勢（$p=\frac{1}{2}$）や宇宙項優勢（$H$ が一定）の背景では、$f\propto t^{2-3p}$ が時間変化するので、$f$ を定数としたこの解き方はそのままでは使えず、別の扱いが必要です。ただし集まる物質の密度が全体に比べて無視できる極限（$f\to 0$）なら右辺を落としてよく、例えば放射優勢期では $t^2\ddot{\delta }+t\dot{\delta }=0$ の特性方程式が $n^2=0$（重根）となって $\delta =C_1+C_2\log t$、つまり $\delta$ はほぼ一定（対数的にしか伸びない）です。宇宙項優勢期では $\ddot{\delta }+2H\dot{\delta }=0$ から $\delta =C_1+C_2{e}^{-2Ht}$ で、成長が止まります。