各時代のスケール因子の時間依存性

状態方程式 $p = w ρ$ の 1 成分が支配する平坦な宇宙で $a \propto t^{2/ (3 (1 + w))}$ （放射 $t^{1/2}$ ・物質 $t^{2/3}$ ・宇宙項 $e^{H t}$ ）を導き、放射と物質の 2 成分の宇宙では共形時間 $η$ を使った解 $a (η)$ から局所的なべき指数 $d lo g a / d lo g t$ などを求められる

前提

密度パラメータと多成分の宇宙（大学物理宇宙物理・宇宙論）

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算数中学高校大学大学院

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密度パラメータと多成分の宇宙（大学物理宇宙物理・宇宙論）

説明

平坦な宇宙でスケール因子 $a (t)$ が時間とともにどう増えるかを、宇宙を満たす成分の状態方程式 $p = w ρ$ から求める技能です。1 成分が支配する時代では、 $w > - 1$ なら $a \propto t^{2/ (3 (1 + w))}$ （放射優勢期 $t^{1/2}$ 、物質優勢期 $t^{2/3}$ ）、宇宙項（ $w = - 1$ ）なら $e^{H t}$ となり、宇宙の年齢とハッブル定数の関係 $H = \frac{2}{3 ( 1 + w ) t}$ も得られます。さらに放射と物質が混ざった時代では、共形時間 $η$ を使うと厳密解が求まり、膨張のべき指数が $\frac{1}{2}$ から $\frac{2}{3}$ へ移り変わる様子を調べられます。

なぜそうしてよいのか

以下、光速 $c = 1$ とし、空間が平坦な宇宙を考えます。成分の密度 $ρ$ が $a$ とともにどう減るかは、共動体積 $a^{3}$ の中のエネルギー $ρ a^{3}$ が圧力による仕事の分だけ減る、という熱力学第一法則 $d (ρ a^{3}) = - p d (a^{3})$ から決まります。 $p = w ρ$ （ $w$ は定数）を代入すると $a^{3} d ρ + 3 ρ a^{2} d a = - 3 w ρ a^{2} d a$ 、つまり $\frac{d ρ}{ρ} = - 3 (1 + w) \frac{d a}{a}$ で、 $ρ \propto a^{- 3 (1 + w)}$ です。物質（ $w = 0$ ）なら $a^{- 3}$ 、放射（ $w = \frac{1}{3}$ ）なら $a^{- 4}$ 、宇宙項（ $w = - 1$ ）なら一定で、密度パラメータの式 $H^{2} = H_{0}^{2} (Ω_{r} a^{- 4} + Ω_{m} a^{- 3} + Ω_{Λ})$ の各項と一致します。

平坦なフリードマン方程式 $(\frac{a ˙}{a})^{2} = \frac{8 π G}{3} ρ$ に代入すると、1 成分だけで膨張している（ $a ˙ > 0$ ）ときは $a ˙ = K a^{1 - \frac{3 ( 1 + w )}{2}}$ （ $K > 0$ は定数）という変数分離形になります。 $w > - 1$ なら $1 + w > 0$ なので、 $a^{\frac{3 ( 1 + w )}{2} - 1} d a = K d t$ を積分すると $\frac{2}{3 ( 1 + w )} a^{3 (1 + w) /2} = K t + C$ となり、 $a \to 0$ で左辺が $0$ に近づくので、 $a = 0$ となる時刻（ビッグバン）を $t = 0$ に選べて $a^{3 (1 + w) /2} \propto t$ 、すなわち $a \propto t^{\frac{2}{3 ( 1 + w )}}, H = \frac{a ˙}{a} = \frac{2}{3 ( 1 + w ) t}$ です。 $w = - 1$ では $H$ が定数なので $a ˙ = H a$ を解いて $a \propto e^{H t}$ となります。なお $w < - 1$ では $3 (1 + w) /2 < 0$ で、積分は $a^{3 (1 + w) /2} \propto t_{*} - t$ （ $t_{*}$ は定数）となり、 $a$ は有限の時刻 $t_{*}$ に向かって発散するので、 $a \propto t^{2/ (3 (1 + w))}$ の形は成り立ちません（この技能では扱いません）。

2 成分以上が同程度に効く時代では、 $t$ のままでは積分が初等的に書けないことがあります。そこで共形時間 $d η = \frac{d t}{a}$ を導入すると $\frac{d a}{d η} = a a ˙ = a^{2} H$ となり、放射と物質の宇宙では $(\frac{d a}{d η})^{2} = H_{0}^{2} (Ω_{r} + Ω_{m} a)$ と $a$ の 1 次式になって簡単に解けます。 $η = 0$ で $a = 0$ とすると $a (η) = \frac{Ω _{m} H _{0}^{2}}{4} η^{2} + Ω_{r} H_{0} η$ です（微分して 2 乗すれば確かめられます）。 $a_{eq} = \frac{Ω _{r}}{Ω _{m}}$ （物質・放射等密度時）と $η_{*} = \frac{2 Ω _{r}}{Ω _{m} H _{0}}$ を使い $x = η / η_{*}$ とおくと $a = a_{eq} (x^{2} + 2 x)$ 、 $t = \int a d η = a_{eq} η_{*} (\frac{x ^{3}}{3} + x^{2})$ と、 $a$ と $t$ が $x$ を媒介変数として表せます。

手順

各成分の密度の $a$ 依存性を $ρ \propto a^{- 3 (1 + w)}$ で書く（物質 $a^{- 3}$ 、放射 $a^{- 4}$ 、宇宙項一定）
1 成分が支配するときは $a ˙ \propto a^{1 - 3 (1 + w) /2}$ を変数分離で解き、 $w > - 1$ なら $a \propto t^{2/ (3 (1 + w))}$ と $H = \frac{2}{3 ( 1 + w ) t}$ （ $a = 0$ の時刻を $t = 0$ とする）、 $w = - 1$ なら $a \propto e^{H t}$ を得る（ $w < - 1$ ではこの形にならない）
2 成分（放射＋物質）のときは共形時間 $d η = d t / a$ を使い、 $(\frac{d a}{d η})^{2} = H_{0}^{2} (Ω_{r} + Ω_{m} a)$ を解いて $a = a_{eq} (x^{2} + 2 x)$ （ $x = η / η_{*}$ ）とする
$t = \int_{0}^{η} a d η^{'} = a_{eq} η_{*} (\frac{x ^{3}}{3} + x^{2})$ を計算し、 $a$ と $t$ を $x$ の媒介変数表示にする
局所的なべき指数は $n = \frac{d l o g a}{d l o g t} = \frac{t}{a} \frac{d a}{d t} = \frac{t}{a ^{2}} \frac{d a}{d η}$ で計算する。放射＋物質では $n = \frac{2 ( x + 1 ) ( x + 3 )}{3 ( x + 2 ) ^{2}}$ （ $x \to 0$ で $\frac{1}{2}$ 、 $x \to \infty$ で $\frac{2}{3}$ ）

例題

光速 $c = 1$ とし、放射と物質だけを含む空間的に平坦な宇宙を考える。今日のハッブル定数を $H_{0}$ 、密度パラメータを $Ω_{r}, Ω_{m}$ とし、ビッグバン（ $a = 0$ ）を $t = 0$ とする。物質と放射の密度が等しくなる時刻での、膨張の局所的なべき指数 $n = \frac{d l o g a}{d l o g t}$ を正確な値で求めよ。

例題の解答

手順 1: $ρ_{r} \propto a^{- 4}$ , $ρ_{m} \propto a^{- 3}$ なので $H^{2} = H_{0}^{2} (Ω_{r} a^{- 4} + Ω_{m} a^{- 3})$ 。等密度時は $a_{eq} = \frac{Ω _{r}}{Ω _{m}}$ 。

手順 2: 等密度時のまわりでは放射と物質が同程度に効き、1 成分が支配する状況ではないので、手順 2 の $a \propto t^{2/ (3 (1 + w))}$ は使えない（使えば $\frac{1}{2}$ か $\frac{2}{3}$ になってしまう）。2 成分の解に進む。

手順 3: 共形時間 $d η = d t / a$ で $(\frac{d a}{d η})^{2} = a^{4} H^{2} = H_{0}^{2} (Ω_{r} + Ω_{m} a)$ 。 $a (0) = 0$ の解は $a = a_{eq} (x^{2} + 2 x)$ , $x = η / η_{*}$ , $η_{*} = \frac{2 Ω _{r}}{Ω _{m} H _{0}}$ 。等密度時は $x^{2} + 2 x = 1$ より $x = 2 - 1$ （ $x > 0$ ）。

手順 4: $t = a_{eq} η_{*} (\frac{x ^{3}}{3} + x^{2}) = a_{eq} η_{*} \frac{x ^{2} ( x + 3 )}{3}$ 。

手順 5: $\frac{d a}{d η} = \frac{a _{eq} ( 2 x + 2 )}{η _{*}}$ なので $n = \frac{t}{a ^{2}} \frac{d a}{d η} = \frac{\frac{x ^{2} ( x + 3 )}{3} \cdot 2 ( x + 1 )}{x ^{2} ( x + 2 ) ^{2}} = \frac{2 ( x + 1 ) ( x + 3 )}{3 ( x + 2 ) ^{2}} .$ $x = 2 - 1$ を代入すると $x + 1 = 2$ 、 $x + 3 = 2 + 2 = 2 (2 + 1)$ 、 $x + 2 = 2 + 1$ より $n = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 ( 2 + 1 )}{3 ( 2 + 1 ) ^{2}} = \frac{4}{3 ( 2 + 1 )} = \frac{4 ( 2 - 1 )}{3} \approx 0.552.$ 放射優勢の $\frac{1}{2}$ と物質優勢の $\frac{2}{3}$ の間にあり、妥当である。

答え: $\frac{4 ( 2 - 1 )}{3}$

よくある誤り

放射の密度も物質と同じく $ρ_{r} \propto a^{- 3}$ として $a \propto t^{2/3}$ としてしまう誤り。正しくは $w = \frac{1}{3}$ なので $ρ_{r} \propto a^{- 3 (1 + 1/3)} = a^{- 4}$ （数密度の $a^{- 3}$ に赤方偏移による 1 光子のエネルギーの $a^{- 1}$ が加わる）で、 $a \propto t^{1/2}$ 。
宇宙項優勢期にも $a \propto t^{2/ (3 (1 + w))}$ を使ってしまう誤り。 $w = - 1$ では指数の分母が 0 になる。正しくは $H$ が一定なので $a ˙ = H a$ を解いて $a \propto e^{H t}$ 。この公式が使えるのは $w > - 1$ のときだけ。
2 成分の宇宙で、それぞれの解を足して $a \propto t^{1/2} + t^{2/3}$ のようにしてしまう誤り。フリードマン方程式は $a$ について線形ではないので解を重ね合わせられない。正しくは共形時間で $(\frac{d a}{d η})^{2} = H_{0}^{2} (Ω_{r} + Ω_{m} a)$ を解き、 $a = a_{eq} (x^{2} + 2 x)$ 、 $t = a_{eq} η_{*} (\frac{x ^{3}}{3} + x^{2})$ と媒介変数で表す。
局所的なべき指数を $\frac{d l o g a}{d l o g η}$ と、共形時間について計算してしまう誤り（放射優勢で $a \propto η$ なので 1、物質優勢で $a \propto η^{2}$ なので 2 になる）。正しくは宇宙時間 $t$ について $\frac{d l o g a}{d l o g t} = \frac{t}{a ^{2}} \frac{d a}{d η}$ で、 $\frac{1}{2}$ から $\frac{2}{3}$ へ変わる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
光速を $c = 1$ とする単位系を用いる。空間的に平坦な一様等方宇宙が、状態方程式 $p = ρ$ （ $w = 1$ 、いわゆる硬い物質）に従う 1 成分の完全流体だけで支配されているとする。スケール因子 $a (t)$ はフリードマン方程式
$(\frac{a ˙}{a})^{2} = \frac{8 π G}{3} ρ$
と連続の式
$ρ ˙ + 3 \frac{a ˙}{a} (ρ + p) = 0$
に従う（ $G$ は万有引力定数、 $˙$ は宇宙時間 $t$ による微分）。宇宙は膨張しており（ $a ˙ > 0$ ）、 $t = 0$ で $a = 0$ とする。このとき $a (t) \propto t^{n}$ となる。指数 $n$ を求めよ。

各時代のスケール因子の時間依存性

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること