フリードマン方程式の積分による宇宙の年齢

$t_{0} = \int_{0}^{1} \frac{d a}{a H ( a )}$ を、密度パラメータ $Ω_{m}, Ω_{r}, Ω_{Λ}$ を与えた宇宙で計算し、宇宙の年齢や赤方偏移 $z$ のときの時刻を $H_{0}$ を用いた式で求められる

前提

各時代のスケール因子の時間依存性（大学院物理宇宙論）
広義積分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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広義積分（大学数学微分積分）

説明

物質・放射・宇宙項が混ざった宇宙では、スケール因子 $a (t)$ が単純なべき関数や指数関数にならないため、年齢を「 $a \propto t^{p}$ だから $t_{0} = p / H_{0}$ 」とは求められません。この技能では、フリードマン方程式から膨張率 $H (a)$ を $a$ の関数として書き、 $t = \int \frac{d a}{a H ( a )}$ を積分することで、密度パラメータ $Ω_{m}, Ω_{r}, Ω_{Λ}$ を与えた宇宙の年齢 $t_{0}$ や、赤方偏移 $z$ の光が出た時刻 $t (z)$ を $H_{0}$ を使った式で求めます。宇宙論のパラメータから年齢を見積もる、もっとも基本的な計算です。

なぜそうしてよいのか

ハッブルパラメータの定義は $H = \frac{a ˙}{a} = \frac{1}{a} \frac{d a}{d t}$ です。これは $a$ を変数とみると $\frac{d t}{d a} = \frac{1}{a H}$ ということなので、変数分離して $d t = \frac{d a}{a H ( a )}$ と書けます。宇宙が膨張し続けていて $a$ が $t$ について単調増加なら、時刻を $a$ で測ることができ、ビッグバン（ $a = 0$ , $t = 0$ ）から現在（ $a = 1$ ）までを足し上げれば
$t_{0} = \int_{0}^{1} \frac{d a}{a H ( a )}$
となります。赤方偏移 $z$ の時刻は $a = \frac{1}{1 + z}$ なので、上端を $\frac{1}{1 + z}$ に変えればよいだけです。

残るのは $H (a)$ を求めることです。各成分のエネルギー密度は物質 $ρ_{m} \propto a^{- 3}$ 、放射 $ρ_{r} \propto a^{- 4}$ 、宇宙項 $ρ_{Λ} =$ 一定と変わり、現在の臨界密度 $ρ_{c 0} = \frac{3 H _{0}^{2}}{8 π G}$ との比 $Ω_{i} = ρ_{i 0} / ρ_{c 0}$ を使うと、平坦でない場合の曲率項 $Ω_{k} = 1 - Ω_{m} - Ω_{r} - Ω_{Λ}$ （ $\propto a^{- 2}$ ）も含めて、フリードマン方程式は
$H (a)^{2} = H_{0}^{2} (Ω_{r} a^{- 4} + Ω_{m} a^{- 3} + Ω_{k} a^{- 2} + Ω_{Λ})$
となります。これを代入すると、年齢は $\frac{1}{H _{0}} \times$ （ $Ω$ だけで決まる無次元の積分）の形になります。

$a \to 0$ では $H \to \infty$ なので積分は広義積分ですが、物質が効くなら被積分関数は $\frac{1}{a H} \approx \frac{a ^{1/2}}{H _{0} Ω _{m}}$ 、放射が効くなら $\approx \frac{a}{H _{0} Ω _{r}}$ と 0 に近づくので、下端で収束し年齢は有限になります。

手順

曲率の密度パラメータ $Ω_{k} = 1 - Ω_{m} - Ω_{r} - Ω_{Λ}$ を確認し、 $H (a) = H_{0} Ω_{r} a^{- 4} + Ω_{m} a^{- 3} + Ω_{k} a^{- 2} + Ω_{Λ}$ を書く
積分の上端を決める：年齢なら $a = 1$ 、赤方偏移 $z$ の時刻なら $a = \frac{1}{1 + z}$
$t = \int_{0}^{a_{up}} \frac{d a}{a H ( a )}$ に代入し、 $\frac{1}{H _{0}}$ をくくり出して被積分関数を整理する（分母分子に $a$ のべきを掛けて根号の中を多項式にする）
置換積分（物質＋宇宙項なら $u = a^{3/2}$ など）で積分し、下端 $a \to 0$ の極限をとる
結果を $\frac{1}{H _{0}} \times$ （数）の形にまとめる

例題

曲率 0 で、放射を無視し、現在の密度パラメータが $Ω_{m} = Ω_{Λ} = \frac{1}{2}$ の宇宙を考える。現在のハッブル定数を $H_{0}$ とし、ビッグバン（ $a = 0$ ）から現在（ $a = 1$ ）までの時間 $t_{0}$ を $H_{0}$ を用いて求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $Ω_{k} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ なので $H (a) = H_{0} \frac{1}{2} a^{- 3} + \frac{1}{2}$ 。

【手順 2】年齢なので上端は $a = 1$ 。

【手順 3】
$t_{0} = \int_{0}^{1} \frac{d a}{a H _{0} \frac{1}{2} a ^{- 3} + \frac{1}{2}} = \frac{2}{H _{0}} \int_{0}^{1} \frac{d a}{a a ^{- 3} + 1} = \frac{2}{H _{0}} \int_{0}^{1} \frac{a ^{1/2} d a}{1 + a ^{3}}$
（分母分子に $a^{3/2}$ を掛けた）。被積分関数は $a \to 0$ で 0 に近づくので収束する。

【手順 4】 $u = a^{3/2}$ とおくと $d u = \frac{3}{2} a^{1/2} d a$ 、 $a^{3} = u^{2}$ 、 $a : 0 \to 1$ で $u : 0 \to 1$ 。
$t_{0} = \frac{2}{H _{0}} \cdot \frac{2}{3} \int_{0}^{1} \frac{d u}{1 + u ^{2}} .$
$F (u) = lo g (u + 1 + u^{2})$ を微分すると $F^{'} (u) = \frac{1 + \frac{u}{1 + u ^{2}}}{u + 1 + u ^{2}} = \frac{1}{1 + u ^{2}}$ なので、これが原始関数。 $F (1) - F (0) = lo g (1 + 2) - lo g 1 = lo g (1 + 2)$ 。

【手順 5】
$t_{0} = \frac{2 2}{3 H _{0}} lo g (1 + 2) \approx \frac{0.831}{H _{0}} .$
（物質だけの宇宙の $\frac{2}{3 H _{0}} \approx \frac{0.667}{H _{0}}$ より長い。宇宙項が後期の膨張を加速させ、過去の膨張が今より遅かったため。）

答え: $\frac{2 2}{3 H _{0}} lo g (1 + 2)$

よくある誤り

被積分関数を $\frac{1}{H ( a )}$ としてしまい $t_{0} = \int_{0}^{1} \frac{d a}{H ( a )}$ と計算する誤り。 $H = a ˙ / a$ なので $d t = \frac{d a}{a H ( a )}$ で、分母の $a$ を落とさない。
物質と放射のスケーリングを取り違えて $H^{2} = H_{0}^{2} (Ω_{m} a^{- 4} + Ω_{r} a^{- 3} + Ω_{Λ})$ としてしまう誤り。正しくは物質 $ρ_{m} \propto a^{- 3}$ 、放射 $ρ_{r} \propto a^{- 4}$ で $H^{2} = H_{0}^{2} (Ω_{r} a^{- 4} + Ω_{m} a^{- 3} + Ω_{k} a^{- 2} + Ω_{Λ})$ 。
$Ω_{m} + Ω_{r} + Ω_{Λ} \neq = 1$ のときに曲率項を忘れてしまう誤り。たとえば $Ω_{m} = 0.3, Ω_{Λ} = 0$ なら $Ω_{k} = 0.7$ で、 $H^{2} = H_{0}^{2} (0.3 a^{- 3} + 0.7 a^{- 2})$ としないと $H (1) = H_{0}$ にならない。
赤方偏移 $z$ の時刻で上端を $a = 1 + z$ や $a = z$ としてしまう誤り。正しくは $1 + z = 1/ a$ より上端は $a = \frac{1}{1 + z}$ で、 $t (z) = \int_{0}^{1/ (1 + z)} \frac{d a}{a H ( a )}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
空間的に平坦で、非相対論的物質だけを含む宇宙（ $Ω_{m} = 1$ , $Ω_{r} = Ω_{Λ} = 0$ ）を考える。現在のスケール因子を $a = 1$ 、現在のハッブル定数を $H_{0} > 0$ とすると、ハッブル・パラメータは
$H (a) = H_{0} a^{- 3/2}$
で与えられる。ビッグバン（ $a = 0$ ）からスケール因子が $a$ になるまでの時間は $t (a) = \int_{0}^{a} \frac{d a ^{'}}{a ^{'} H ( a ^{'} )}$ で与えられる。赤方偏移 $z = 3$ の時刻、すなわち $1 + z = \frac{1}{a}$ を満たすスケール因子に達するまでの時間 $t$ を $H_{0}$ を用いて表せ。