密度パラメータと多成分の宇宙

空間的に平坦で、放射・物質・宇宙項を含む宇宙を考える。現在のスケール因子を $a_0=1$ とし、ハッブル・パラメータ $H$ はスケール因子 $a$ の関数として
$$H(a{)}^2=H_0^2\left({\Omega }_r{a}^{-4}+{\Omega }_m{a}^{-3}+{\Omega }_{\Lambda }\right)$$
と表されるとする。ここで $H_0$ は現在のハッブル定数、${\Omega }_r$, ${\Omega }_m$, ${\Omega }_{\Lambda }$ はそれぞれ放射・物質・宇宙項の現在の密度パラメータである。

${\Omega }_m=0.30$, ${\Omega }_r=1.0\times 10^{-4}$ として、放射のエネルギー密度と物質のエネルギー密度が等しくなる時期（物質・放射等密度時）の赤方偏移 $z_{\mathrm{eq}}$ を求めよ。ただし赤方偏移は $1+z=\frac{1}{a}$ で定める。答えは整数で答えよ。

空間的に平坦な一様等方宇宙が、圧力の無視できる物質（ダスト）と宇宙項 $\Lambda$（$\Lambda >0$）だけを含むとする。スケール因子を $a(t)$（現在 $a=1$）、万有引力定数を $G$、光速を $c$、物質の質量密度を ${\rho }_m$ とし、物質の質量は保存されるので ${\rho }_m\propto a^{-3}$ である。スケール因子は加速方程式
$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}{\rho }_m+\frac{\Lambda c^2}{3}$$
に従う。現在のハッブルパラメータを $H_0$、臨界密度を ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の物質の密度パラメータを ${\Omega }_m=\frac{{\rho }_{m,0}}{{\rho }_{\mathrm{c}}}=\frac{1}{4}$、宇宙項の密度パラメータを ${\Omega }_{\Lambda }=\frac{\Lambda c^2}{3H_0^2}=\frac{3}{4}$ とする（${\rho }_{m,0}$ は現在の物質の密度）。宇宙の膨張が減速から加速に転じた時刻（$\ddot{a}=0$ となる時刻）に放出され、現在観測される光の赤方偏移 $z$ を、根号を用いた正確な値で求めよ。ただし $1+z=\frac{1}{a}$ である。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質だけを含む一様等方な宇宙を考える。空間の曲率は負（$k=-1$）であり、長さの次元をもつスケール因子 $a(t)$ は、各時刻における空間の曲率半径に等しくなるように選ぶ。このとき宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2},H=\frac{\dot{a}}{a}$$
に従う。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度である。

現在のハッブル定数を $H_0$ とし、現在の物質の密度は、ハッブル定数 $H_0$ に対する臨界密度（$k=0$ となる密度）のちょうど $\frac{3}{4}$ 倍であるとする。現在の空間の曲率半径 $a_0$ を $c$, $H_0$ を用いて表せ。

一様等方に膨張する宇宙を考える。現在の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は温度 $T_0$ の黒体放射であり、現在の物質（圧力の無視できる非相対論的物質）の質量密度を ${\rho }_0$ とする。光速を $c$、シュテファン・ボルツマン定数を $\sigma$ とし、温度 $T$ の黒体放射のエネルギー密度は $u=\frac{4\sigma }{c}{T}^4$ で与えられるものとする。

宇宙の膨張にともない、スケール因子を $a$ とすると、物質の質量密度は $a^{-3}$ に比例して変化し、CMB は黒体放射のスペクトルを保ったまま、その温度が $a^{-1}$ に比例して下がるとする。放射成分としては CMB の光子のみを考え（ニュートリノなどは無視する）、物質と放射の間のエネルギーのやりとりはないものとする。

物質のエネルギー密度 $\rho c^2$ と CMB のエネルギー密度 $u$ が等しかった時刻（物質・放射等密度時）における CMB の温度 $T_{\mathrm{eq}}$ を、${\rho }_0,c,\sigma ,T_0$ を用いて表せ。

一様等方に膨張する宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$ とし、現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$、宇宙の始まり $t=0$ で $a(0)=0$ とする。ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、現在のハッブル定数を $H_0(>0)$ とする。この宇宙はフリードマン方程式
$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}$$
に従う。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度、$k$ は曲率の定数、$\Lambda (>0)$ は宇宙定数である。

宇宙に含まれる物質は圧力の無視できる非相対論的物質だけであり（放射は無視する）、その密度は $\rho \propto a^{-3}$ に従って変化する。空間は平坦（$k=0$）であり、現在の物質の密度は、臨界密度 ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ のちょうど $\frac{1}{4}$ である。

この宇宙の年齢 $t_0$ とハッブル定数の積 $H_0{t}_0$ を、根号と自然対数を用いた正確な値で求めよ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$（現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$）、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、物質の質量密度を $\rho (t)$、万有引力定数を $G$、光速を $c$ とすると、宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}(k\text{は定数})$$
に従い、物質の質量は保存されるので $\rho a^3$ は一定である。現在のハッブル定数を $H_0$（$H_0>0$）、臨界密度を ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の密度パラメータ ${\Omega }_0=\frac{\rho (t_0)}{{\rho }_c}$ は ${\Omega }_0>1$ を満たすとする。

この宇宙は $a=0$ の状態（ビッグバン）から膨張を始め、最大まで膨張したのち収縮に転じ、再び $a=0$ の状態（ビッグクランチ）に至る。ビッグバンからビッグクランチまでの時間 $t_{\text{life}}$ を、$H_0$, ${\Omega }_0$ を用いて表せ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$ とし、現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$ とする。ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、現在のハッブル定数を $H_0$（$H_0>0$）とする。宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}$$
に従う（$G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度、$k$ は曲率を表す定数）。物質の質量は保存し、$\rho \propto a^{-3}$ である。

現在の物質の密度 ${\rho }_0$ を臨界密度 ${\rho }_{\mathrm{cr}}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ で割った密度パラメータを ${\Omega }_0=\frac{{\rho }_0}{{\rho }_{\mathrm{cr}}}$ とし、${\Omega }_0>1$ であるとする。この宇宙は $a=0$（ビッグバン）から膨張を始め、最大の大きさに達したのち収縮に転じ、再び $a=0$ に戻る。

ビッグバンから再び $a=0$ に戻るまでの時間を、$H_0$ と ${\Omega }_0$ を用いて表せ。必要なら、正の定数 $A$, $B$ を用いた媒介変数表示 $a=A(1-\cos \eta )$, $t=B(\eta -\sin \eta )$（ビッグバンを $t=0$, $\eta =0$ とする）を用いてよい。