宇宙物理・宇宙論の問題

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質だけを含む一様等方な宇宙を考える。空間の曲率は負（$k=-1$）であり、長さの次元をもつスケール因子 $a(t)$ は、各時刻における空間の曲率半径に等しくなるように選ぶ。このとき宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2},H=\frac{\dot{a}}{a}$$
に従う。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度である。

現在のハッブル定数を $H_0$ とし、現在の物質の密度は、ハッブル定数 $H_0$ に対する臨界密度（$k=0$ となる密度）のちょうど $\frac{3}{4}$ 倍であるとする。現在の空間の曲率半径 $a_0$ を $c$, $H_0$ を用いて表せ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$ とし、現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$ とする。ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、現在のハッブル定数を $H_0$（$H_0>0$）とする。宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}$$
に従う（$G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度、$k$ は曲率を表す定数）。物質の質量は保存し、$\rho \propto a^{-3}$ である。

現在の物質の密度 ${\rho }_0$ を臨界密度 ${\rho }_{\mathrm{cr}}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ で割った密度パラメータを ${\Omega }_0=\frac{{\rho }_0}{{\rho }_{\mathrm{cr}}}$ とし、${\Omega }_0>1$ であるとする。この宇宙は $a=0$（ビッグバン）から膨張を始め、最大の大きさに達したのち収縮に転じ、再び $a=0$ に戻る。

ビッグバンから再び $a=0$ に戻るまでの時間を、$H_0$ と ${\Omega }_0$ を用いて表せ。必要なら、正の定数 $A$, $B$ を用いた媒介変数表示 $a=A(1-\cos \eta )$, $t=B(\eta -\sin \eta )$（ビッグバンを $t=0$, $\eta =0$ とする）を用いてよい。

空間的に平坦な一様等方宇宙が、圧力の無視できる物質（ダスト）と宇宙項 $\Lambda$（$\Lambda >0$）だけを含むとする。スケール因子を $a(t)$（現在 $a=1$）、万有引力定数を $G$、光速を $c$、物質の質量密度を ${\rho }_m$ とし、物質の質量は保存されるので ${\rho }_m\propto a^{-3}$ である。スケール因子は加速方程式
$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}{\rho }_m+\frac{\Lambda c^2}{3}$$
に従う。現在のハッブルパラメータを $H_0$、臨界密度を ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の物質の密度パラメータを ${\Omega }_m=\frac{{\rho }_{m,0}}{{\rho }_{\mathrm{c}}}=\frac{1}{4}$、宇宙項の密度パラメータを ${\Omega }_{\Lambda }=\frac{\Lambda c^2}{3H_0^2}=\frac{3}{4}$ とする（${\rho }_{m,0}$ は現在の物質の密度）。宇宙の膨張が減速から加速に転じた時刻（$\ddot{a}=0$ となる時刻）に放出され、現在観測される光の赤方偏移 $z$ を、根号を用いた正確な値で求めよ。ただし $1+z=\frac{1}{a}$ である。

空間的に平坦（曲率 $k=0$）で宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、物質の密度を $\rho$、万有引力定数を $G$ とすると、フリードマン方程式は
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
で与えられ、物質の密度は $\rho \propto a^{-3}$ にしたがって変化する。現在のスケール因子を $a_0$、現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

スケール因子が $a=\frac{a_0}{4}$ であった時刻における、宇宙の臨界密度 ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H^2}{8\pi G}$ を、$H_0$ と $G$ を用いて表せ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$（現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$）、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、物質の質量密度を $\rho (t)$、万有引力定数を $G$、光速を $c$ とすると、宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}(k\text{は定数})$$
に従い、物質の質量は保存されるので $\rho a^3$ は一定である。現在のハッブル定数を $H_0$（$H_0>0$）、臨界密度を ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の密度パラメータ ${\Omega }_0=\frac{\rho (t_0)}{{\rho }_c}$ は ${\Omega }_0>1$ を満たすとする。

この宇宙は $a=0$ の状態（ビッグバン）から膨張を始め、最大まで膨張したのち収縮に転じ、再び $a=0$ の状態（ビッグクランチ）に至る。ビッグバンからビッグクランチまでの時間 $t_{\text{life}}$ を、$H_0$, ${\Omega }_0$ を用いて表せ。