宇宙物理・宇宙論の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理宇宙物理・宇宙論

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a (t)$ とし、現在の時刻 $t_{0}$ で $a (t_{0}) = 1$ とする。ハッブルパラメータを $H = a ˙ / a$ 、現在のハッブル定数を $H_{0}$ （ $H_{0} > 0$ ）とする。宇宙の膨張はフリードマン方程式
$H^{2} = \frac{8 π G}{3} ρ - \frac{k c ^{2}}{a ^{2}}$
に従う（ $G$ は万有引力定数、 $c$ は光速、 $ρ$ は物質の質量密度、 $k$ は曲率を表す定数）。物質の質量は保存し、 $ρ \propto a^{- 3}$ である。

現在の物質の密度 $ρ_{0}$ を臨界密度 $ρ_{cr} = \frac{3 H _{0}^{2}}{8 π G}$ で割った密度パラメータを $Ω_{0} = \frac{ρ _{0}}{ρ _{cr}}$ とし、 $Ω_{0} > 1$ であるとする。この宇宙は $a = 0$ （ビッグバン）から膨張を始め、最大の大きさに達したのち収縮に転じ、再び $a = 0$ に戻る。

ビッグバンから再び $a = 0$ に戻るまでの時間を、 $H_{0}$ と $Ω_{0}$ を用いて表せ。必要なら、正の定数 $A$ , $B$ を用いた媒介変数表示 $a = A (1 - cos η)$ , $t = B (η - sin η)$ （ビッグバンを $t = 0$ , $η = 0$ とする）を用いてよい。

この問題で使うもの

フリードマン方程式と臨界密度（説明と入口の問題）
密度パラメータと多成分の宇宙（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（61 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$ρ = ρ_{0} a^{- 3}$ と $Ω_{0}$ の定義を使い、現在の値から $k c^{2}$ を $H_{0}$ , $Ω_{0}$ で表して、 $a ˙^{2}$ を $a$ の関数として書こう。

ヒント 2

$a ˙^{2} = H_{0}^{2} [\frac{Ω _{0}}{a} - (Ω_{0} - 1)]$ となる。 $a = A (1 - cos η)$ , $t = B (η - sin η)$ を代入し、 $cos η$ の係数と定数項を比べて $A$ , $B$ を決める。

ヒント 3

$A = \frac{Ω _{0}}{2 ( Ω _{0} - 1 )}$ , $B = \frac{Ω _{0}}{2 H _{0} ( Ω _{0} - 1 ) ^{3/2}}$ となる。 $a$ が再び $0$ になる $η$ の値を考えよう。

答えと解説

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\frac{π Ω _{0}}{H _{0} ( Ω _{0} - 1 ) ^{3/2}}

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解説を読む

1. フリードマン方程式を $H_{0}$ , $Ω_{0}$ で書く

$ρ = ρ_{0} a^{- 3}$ と $\frac{8 π G}{3} ρ_{0} = Ω_{0} H_{0}^{2}$ より
$H^{2} = Ω_{0} H_{0}^{2} a^{- 3} - \frac{k c ^{2}}{a ^{2}} .$
現在（ $a = 1$ , $H = H_{0}$ ）で考えると $H_{0}^{2} = Ω_{0} H_{0}^{2} - k c^{2}$ なので $k c^{2} = (Ω_{0} - 1) H_{0}^{2} > 0$ であり、空間の曲率は正（閉じた宇宙）である。よって
$a ˙^{2} = H_{0}^{2} [\frac{Ω _{0}}{a} - (Ω_{0} - 1)] .$

2. 最大の大きさ

$a ˙ = 0$ となるのは $a_{m a x} = \frac{Ω _{0}}{Ω _{0} - 1}$ のときで、この後 $a ¨ < 0$ （減速膨張。 $a ¨ = - \frac{4 π G}{3} ρ a < 0$ ）なので収縮に転じる。

3. 媒介変数表示で解く

$a = A (1 - cos η)$ , $t = B (η - sin η)$ とおくと、 $\frac{d a}{d η} = A sin η$ , $\frac{d t}{d η} = B (1 - cos η)$ より
$a ˙^{2} = \frac{A ^{2} sin ^{2} η}{B ^{2} ( 1 - cos η ) ^{2}} = \frac{A ^{2}}{B ^{2}} \cdot \frac{1 + cos η}{1 - cos η} .$
一方、右辺は
$H_{0}^{2} [\frac{Ω _{0}}{A ( 1 - cos η )} - (Ω_{0} - 1)] = \frac{H _{0}^{2}}{1 - cos η} [\frac{Ω _{0}}{A} - (Ω_{0} - 1) + (Ω_{0} - 1) cos η] .$
両辺の $cos η$ の係数と定数項を比べて
$\frac{A ^{2}}{B ^{2}} = H_{0}^{2} (Ω_{0} - 1), \frac{A ^{2}}{B ^{2}} = H_{0}^{2} [\frac{Ω _{0}}{A} - (Ω_{0} - 1)] .$
これより $\frac{Ω _{0}}{A} = 2 (Ω_{0} - 1)$ 、すなわち
$A = \frac{Ω _{0}}{2 ( Ω _{0} - 1 )}, B = \frac{A}{H _{0} Ω _{0} - 1} = \frac{Ω _{0}}{2 H _{0} ( Ω _{0} - 1 ) ^{3/2}} .$
（ $η = π$ で $a = 2 A = a_{m a x}$ となり、2 の結果と一致する。）

4. 寿命

$a$ は $η = 0$ で $0$ から増加し、 $η = π$ で最大、 $η = 2 π$ で再び $0$ になる。このときの時刻は
$t = B (2 π - sin 2 π) = 2 π B = \frac{π Ω _{0}}{H _{0} ( Ω _{0} - 1 ) ^{3/2}} .$

$\frac{π Ω _{0}}{H _{0} ( Ω _{0} - 1 ) ^{3/2}}$

別解

$ρ = ρ_{0} / a^{3}$ 、 $ρ_{0} = Ω_{0} ρ_{cr} = Ω_{0} \frac{3 H _{0}^{2}}{8 π G}$ より、フリードマン方程式は $a ˙^{2} = \frac{8 π G}{3} \frac{ρ _{0}}{a} - k c^{2} = \frac{H _{0}^{2} Ω _{0}}{a} - k c^{2}$ 。
$t_{0}$ で $a = 1$ 、 $a ˙ = H_{0}$ を代入して $H_{0}^{2} = H_{0}^{2} Ω_{0} - k c^{2}$ 、すなわち $k c^{2} = H_{0}^{2} (Ω_{0} - 1) \equiv K > 0$ 。よって $a ˙^{2} = \frac{H _{0}^{2} Ω _{0}}{a} - K$ 。

媒介変数表示 $a = A (1 - cos η)$ , $t = B (η - sin η)$ を代入する。 $\frac{d t}{d η} = B (1 - cos η)$ 、 $\frac{d a}{d η} = A sin η$ より
$a ˙ = \frac{A s i n η}{B ( 1 - c o s η )}$ 、 $a ˙^{2} = \frac{A ^{2} ( 1 + c o s η )}{B ^{2} ( 1 - c o s η )}$ 。
一方 $\frac{H _{0}^{2} Ω _{0}}{a} - K = \frac{1}{1 - c o s η} [\frac{H _{0}^{2} Ω _{0}}{A} - K (1 - cos η)]$ 。
両辺に $(1 - cos η)$ をかけて比べると
$\frac{A ^{2}}{B ^{2}} (1 + cos η) = \frac{H _{0}^{2} Ω _{0}}{A} - K + K cos η$ 。
$cos η$ の係数から $\frac{A ^{2}}{B ^{2}} = K$ 、定数項から $\frac{A ^{2}}{B ^{2}} = \frac{H _{0}^{2} Ω _{0}}{A} - K$ 。よって $2 K = \frac{H _{0}^{2} Ω _{0}}{A}$ 、
$A = \frac{H _{0}^{2} Ω _{0}}{2 K} = \frac{Ω _{0}}{2 ( Ω _{0} - 1 )}$ 、 $B = \frac{A}{K} = \frac{Ω _{0}}{2 H _{0} ( Ω _{0} - 1 ) ^{3/2}}$ 。

$a = 0$ に戻るのは $η = 2 π$ なので、全時間 $t = 2 π B = \frac{π Ω _{0}}{H _{0} ( Ω _{0} - 1 ) ^{3/2}}$ 。

検算: $Ω_{0} \to \infty$ のとき $t \to \frac{π}{H _{0} Ω _{0}}$ 。このとき $a ˙^{2} \approx H_{0}^{2} Ω_{0} / a$ の閉じた宇宙で、 $a_{m a x} = \frac{Ω _{0}}{Ω _{0} - 1} \approx 1$ となり、自由落下時間の $2 \times \frac{π}{2} a_{m a x}^{3} / (H_{0}^{2} Ω_{0}) \cdot$ に一致する形である（最大膨張までは $\int_{0}^{a_{m}} \frac{d a}{H _{0}^{2} Ω _{0} ( 1/ a - 1/ a _{m} )} = \frac{π a _{m}^{3/2}}{2 H _{0} Ω _{0}}$ なので往復で $\frac{π}{H _{0} Ω _{0}} a_{m}^{3/2}$ ）。

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