フリードマン方程式と臨界密度

空間的に平坦で、物質（圧力が無視できる非相対論的な物質）だけを含む宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブル・パラメータを $H=\frac{1}{a}\frac{da}{dt}$ とし、宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
にしたがうとする（$G$ は万有引力定数、$\rho$ は物質の密度）。物質の密度は $\rho \propto a^{-3}$ で変化し、時刻 $t=0$ で $a=0$ とする。現在のスケール因子を $a_0$、現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

スケール因子が現在の $\frac{1}{4}$ であった時刻（赤方偏移 $z=3$ の時刻）$t$ を $H_0$ を用いて表せ。

空間的に平坦（曲率 $k=0$）で宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、物質の密度を $\rho$、万有引力定数を $G$ とすると、フリードマン方程式は
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
で与えられ、物質の密度は $\rho \propto a^{-3}$ にしたがって変化する。現在のスケール因子を $a_0$、現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

スケール因子が $a=\frac{a_0}{4}$ であった時刻における、宇宙の臨界密度 ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H^2}{8\pi G}$ を、$H_0$ と $G$ を用いて表せ。

空間的に平坦（曲率 $k=0$）で宇宙項がなく、放射（光子などの相対論的粒子）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、放射のエネルギー密度を $c^2$ で割った質量密度を $\rho$、万有引力定数を $G$ とする。この宇宙ではフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
が成り立ち、宇宙膨張にともなって $\rho \propto a^{-4}$ と変化する。時刻 $t$ はスケール因子が $a=0$ となる時刻を $t=0$ として測り、$t>0$ で $\dot{a}>0$ とする。密度が $\rho ={\rho }_1$（${\rho }_1>0$）となる時刻 $t_1$ を、$G$ と ${\rho }_1$ を用いて表せ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質だけを含む一様等方な宇宙を考える。空間の曲率は負（$k=-1$）であり、長さの次元をもつスケール因子 $a(t)$ は、各時刻における空間の曲率半径に等しくなるように選ぶ。このとき宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2},H=\frac{\dot{a}}{a}$$
に従う。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度である。

現在のハッブル定数を $H_0$ とし、現在の物質の密度は、ハッブル定数 $H_0$ に対する臨界密度（$k=0$ となる密度）のちょうど $\frac{3}{4}$ 倍であるとする。現在の空間の曲率半径 $a_0$ を $c$, $H_0$ を用いて表せ。

空間的に平坦で、非相対論的な一様気体だけが宇宙のエネルギー密度を担う宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。背景のスケール因子は $a\propto t^{2/3}$、ハッブルパラメータは $H=\dot{a}/a=2/(3t)$ である。背景の膨張に対して気体の圧力は無視できるが、ゆらぎに対しては圧力が効くものとする。

気体の温度は外部（背景放射との強い熱的結合）によって $T\propto a^{-1}$ に保たれている。そのため気体は等温的にふるまい、圧力ゆらぎと密度ゆらぎは $\delta p=c_s^2\delta \rho$ で結ばれる。ここで音速は $c_s^2\propto T\propto a^{-1}$ である。

ホライズンより十分小さいスケールで、ニュートン近似の線形摂動論を用いる。共動波数 $k$ のフーリエモードの密度コントラストを ${\delta }_k(t)=\delta {\rho }_k/\bar{\rho }$ とする。$G$ を重力定数、$\bar{\rho }$ を背景密度として、共動ジーンズ波数 $k_J$ を
$$k_J^2=\frac{4\pi G\bar{\rho }{a}^2}{c_s^2}$$
で定義する（この模型では $k_J$ は時間によらない定数になる）。

$0<k<k_J$ のモードの成長モードは ${\delta }_k\propto a^p$ の形のべき則に従う。指数 $p$ を $k$ と $k_J$ を用いて表せ。

一様等方に膨張する宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$ とし、現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$、宇宙の始まり $t=0$ で $a(0)=0$ とする。ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、現在のハッブル定数を $H_0(>0)$ とする。この宇宙はフリードマン方程式
$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}$$
に従う。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度、$k$ は曲率の定数、$\Lambda (>0)$ は宇宙定数である。

宇宙に含まれる物質は圧力の無視できる非相対論的物質だけであり（放射は無視する）、その密度は $\rho \propto a^{-3}$ に従って変化する。空間は平坦（$k=0$）であり、現在の物質の密度は、臨界密度 ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ のちょうど $\frac{1}{4}$ である。

この宇宙の年齢 $t_0$ とハッブル定数の積 $H_0{t}_0$ を、根号と自然対数を用いた正確な値で求めよ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$（現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$）、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、物質の質量密度を $\rho (t)$、万有引力定数を $G$、光速を $c$ とすると、宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}(k\text{は定数})$$
に従い、物質の質量は保存されるので $\rho a^3$ は一定である。現在のハッブル定数を $H_0$（$H_0>0$）、臨界密度を ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の密度パラメータ ${\Omega }_0=\frac{\rho (t_0)}{{\rho }_c}$ は ${\Omega }_0>1$ を満たすとする。

この宇宙は $a=0$ の状態（ビッグバン）から膨張を始め、最大まで膨張したのち収縮に転じ、再び $a=0$ の状態（ビッグクランチ）に至る。ビッグバンからビッグクランチまでの時間 $t_{\text{life}}$ を、$H_0$, ${\Omega }_0$ を用いて表せ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$ とし、現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$ とする。ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、現在のハッブル定数を $H_0$（$H_0>0$）とする。宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}$$
に従う（$G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度、$k$ は曲率を表す定数）。物質の質量は保存し、$\rho \propto a^{-3}$ である。

現在の物質の密度 ${\rho }_0$ を臨界密度 ${\rho }_{\mathrm{cr}}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ で割った密度パラメータを ${\Omega }_0=\frac{{\rho }_0}{{\rho }_{\mathrm{cr}}}$ とし、${\Omega }_0>1$ であるとする。この宇宙は $a=0$（ビッグバン）から膨張を始め、最大の大きさに達したのち収縮に転じ、再び $a=0$ に戻る。

ビッグバンから再び $a=0$ に戻るまでの時間を、$H_0$ と ${\Omega }_0$ を用いて表せ。必要なら、正の定数 $A$, $B$ を用いた媒介変数表示 $a=A(1-\cos \eta )$, $t=B(\eta -\sin \eta )$（ビッグバンを $t=0$, $\eta =0$ とする）を用いてよい。