スローロール・パラメータと e-folding 数

単位系は $\hslash =c=1$ とし、換算プランク質量を $M_{\mathrm{Pl}}^2=\frac{1}{8\pi G}$ で定義します。するとフリードマン方程式は $H^2=\frac{\rho }{3M_{\mathrm{Pl}}^2}$ と書けます。もう 1 つ、密度の時間変化を決める式が必要です。共動体積 $a^3$ の中のエネルギー $\rho a^3$ は、膨張で圧力 $p$ がする仕事の分だけ減るので $d(\rho a^3)=-pd(a^3)$、これを時間で微分して $a^3$ で割ると $$\dot{\rho }=-3H(\rho +p)\left(H=\frac{\dot{a}}{a}\right)$$ が得られます（連続の式）。一様なスカラー場 $\varphi (t)$ のエネルギー密度は運動エネルギーとポテンシャルの和 $\rho =\frac{1}{2}{\dot{\varphi }}^2+V(\varphi )$、圧力は $p=\frac{1}{2}{\dot{\varphi }}^2-V(\varphi )$ です。これを連続の式に入れると $\dot{\varphi }(\ddot{\varphi }+V^{\prime })=-3H{\dot{\varphi }}^2$、すなわち場は膨張宇宙の中で「摩擦項 $3H\dot{\varphi }$ のついたボールの運動」$\ddot{\varphi }+3H\dot{\varphi }+V^{\prime }(\varphi )=0$ に従います（$V^{\prime }=dV/d\varphi$）。ポテンシャルが十分なだらかで、場がゆっくり転がる（スローロール）とき、$\frac{1}{2}{\dot{\varphi }}^2\ll V$、$|\ddot{\varphi }|\ll |3H\dot{\varphi }|$ と近似でき、
$$H^2\simeq \frac{V}{3M_{\mathrm{Pl}}^2},3H\dot{\varphi }\simeq -V^{\prime }$$
となります。このとき $p\simeq -\rho$ なので、ほぼ一定の $H$ で指数関数的に加速膨張します。

加速膨張の条件は $\ddot{a}>0$ です。$\frac{\ddot{a}}{a}=\dot{H}+H^2=H^2(1-{ϵ}_H)$、${ϵ}_H\equiv -\frac{\dot{H}}{H^2}$ と書けるので、条件は ${ϵ}_H<1$ です。$\dot{H}$ は、フリードマン方程式 $H^2=\frac{\rho }{3M_{\mathrm{Pl}}^2}$ を時間で微分した $2H\dot{H}=\frac{\dot{\rho }}{3M_{\mathrm{Pl}}^2}$ に、連続の式と $\rho +p={\dot{\varphi }}^2$ から得られる $\dot{\rho }=-3H{\dot{\varphi }}^2$ を代入して $$\dot{H}=-\frac{{\dot{\varphi }}^2}{2M_{\mathrm{Pl}}^2},{ϵ}_H=\frac{{\dot{\varphi }}^2}{2M_{\mathrm{Pl}}^2{H}^2}$$ となります（ここまでは近似なし）。さらにスローロールの 2 式から ${\dot{\varphi }}^2=\frac{V^{\prime 2}}{9H^2}$、$H^4\simeq \frac{V^2}{9M_{\mathrm{Pl}}^4}$ を代入すると $${ϵ}_H\simeq \frac{V^{\prime 2}}{18M_{\mathrm{Pl}}^2{H}^4}=\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}{\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)}^2\equiv {ϵ}_V$$ となり、ポテンシャルの形だけで「傾きがゆるいか」が判定できます。同様に、$|\ddot{\varphi }|\ll |3H\dot{\varphi }|$ が保たれるには曲率も小さい必要があり、それを測るのが ${\eta }_V=M_{\mathrm{Pl}}^2\frac{V^{\prime \prime }}{V}$ です。インフレーション中は ${ϵ}_V\ll 1,|{\eta }_V|\ll 1$ で、${ϵ}_V$ が 1 に達するところで加速膨張が終わる、と考えて ${ϵ}_V({\varphi }_{\mathrm{end}})=1$ で ${\varphi }_{\mathrm{end}}$ を定めます。

e-folding 数はスケール因子が何回 $e$ 倍されたかを表す量で、$N=\log \frac{a_{\mathrm{end}}}{a_{\ast }}={\int }_{t_{\ast }}^{t_{\mathrm{end}}}Hdt$ です。$dt=d\varphi /\dot{\varphi }$ と置換し、スローロールの式 $\dot{\varphi }\simeq -V^{\prime }/(3H)$、$H^2\simeq V/(3M_{\mathrm{Pl}}^2)$ を使うと $\frac{H}{\dot{\varphi }}\simeq -\frac{3H^2}{V^{\prime }}=-\frac{V}{M_{\mathrm{Pl}}^2{V}^{\prime }}$ なので、
$$N={\int }_{{\varphi }_{\ast }}^{{\varphi }_{\mathrm{end}}}\frac{H}{\dot{\varphi }}d\varphi \simeq \frac{1}{M_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_{{\varphi }_{\mathrm{end}}}^{{\varphi }_{\ast }}\frac{V}{V^{\prime }}d\varphi$$
が得られます（積分の上下を入れ替えてマイナスを吸収）。$N$（典型的には 50〜60）を与えればこの式を ${\varphi }_{\ast }$ について解けます。