宇宙論の問題

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、換算プランク質量を $M_{\mathrm{Pl}}$ とする。インフラトン場 $\varphi$ のポテンシャルが
$$V(\varphi )=\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2(m>0)$$
で与えられ、場は $\varphi >0$ の領域を $\varphi$ が減少する向きにスローロールするとする。スローロール・パラメータを
$${ϵ}_V=\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}{\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)}^2,{\eta }_V=M_{\mathrm{Pl}}^2\frac{V^{\prime \prime }}{V}$$
とし（${}^{\prime }$ は $\varphi$ による微分）、インフレーションは ${ϵ}_V=1$ となる場の値 ${\varphi }_{\mathrm{end}}$ で終わるとする。観測されるスケールがホライズンを出たときの場の値 ${\varphi }_{\ast }$ は、e-folding 数
$$N=\frac{1}{M_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_{{\varphi }_{\mathrm{end}}}^{{\varphi }_{\ast }}\frac{V}{V^{\prime }}d\varphi$$
が $N=60$ となる値とする。スローロールの 1 次近似 $n_s=1-6{ϵ}_V+2{\eta }_V$、$r=16{ϵ}_V$ を $\varphi ={\varphi }_{\ast }$ で評価したとき、スカラー・スペクトル指数 $n_s$ とテンソル・スカラー比 $r$ の組 $(n_s,r)$ をこの順に既約分数で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、換算プランク質量を $M_{\mathrm{Pl}}$ とする。インフラトン場 $\varphi$ のポテンシャルが
$$V(\varphi )=\frac{\lambda }{4}{\varphi }^4(\lambda >0)$$
で与えられ、場は $\varphi >0$ の領域を $\varphi$ が減少する向きにスローロールするとする。スローロール・パラメータを ${ϵ}_V=\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}{\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)}^2$ とし、インフレーションは ${ϵ}_V=1$ となる場の値 ${\varphi }_{\mathrm{end}}$ で終わるとする。インフレーションの終わりから数えた e-folding 数を
$$N=\frac{1}{M_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_{{\varphi }_{\mathrm{end}}}^{{\varphi }_{\ast }}\frac{V}{V^{\prime }}d\varphi$$
で定義する（${}^{\prime }$ は $\varphi$ による微分）。$N=60$ となる場の値 ${\varphi }_{\ast }$ について、比 $\frac{{\varphi }_{\ast }}{M_{\mathrm{Pl}}}$ を根号を用いた正確な値で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。標準模型に、質量が無視できる実スカラー場 $\varphi$（内部自由度 $1$）を加えた初期宇宙を考える。$\varphi$ は高温で標準模型の熱浴と熱平衡にあったが、温度 $T_d$ で瞬間的に脱結合し、その後はどの粒子とも相互作用せず、質量ゼロの粒子として自由に膨張するものとする。$T_d$ において、$\varphi$ を除いた熱浴のエントロピーの有効自由度は $g_{\ast s}(T_d)=\frac{427}{4}$ である。

その後、熱浴は断熱的に膨張する。温度 $T\simeq 1\mathrm{MeV}$ では、熱浴に含まれる相対論的粒子は光子、電子・陽電子、および3世代のニュートリノ・反ニュートリノ（各世代とも左巻きニュートリノと右巻き反ニュートリノのみ）だけである。この温度でニュートリノが瞬間的に脱結合し、その後に電子・陽電子対消滅が起こって、そのエントロピーはすべて光子に移るとする。各粒子はボース分布・フェルミ分布の相対論的極限に従い、化学ポテンシャルは無視する。

現在（電子・陽電子が消滅し尽くした後）の放射のエネルギー密度を
$${\rho }_{\mathrm{rad}}={\rho }_{\gamma }\left[1+\frac{7}{8}{\left(\frac{4}{11}\right)}^{4/3}{N}_{\mathrm{eff}}\right]$$
と書くとき、$\varphi$ による寄与 $\Delta N_{\mathrm{eff}}$（すなわち ${\rho }_{\varphi }$ を上式の $N_{\mathrm{eff}}$ の項として表したときの係数）を、分数と累乗を用いた厳密な形で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。標準的な宇宙の熱史に、仮想的なディラック・フェルミオン $\chi$（粒子と反粒子、それぞれスピン自由度 2、合計の内部自由度 $g_{\chi }=4$、質量 $m_{\chi }$）を付け加えた模型を考える。$\chi$ は電磁相互作用をもち、光子・電子・陽電子とは熱平衡にあるが、ニュートリノとは直接相互作用しないとする。

3 世代のニュートリノ（質量は無視し、各世代とも粒子と反粒子それぞれ 1 つのヘリシティ状態のみをもつ）は、温度 $T_d$ で瞬間的に脱結合するとする。$T_d$ において ${\chi }^{\pm }$（$\chi ,\bar{\chi }$）と $e^{\pm }$ はともに相対論的（$m_{\chi },m_e\ll T_d$）であり、その後、宇宙の膨張にともなって $\chi \bar{\chi }$ と $e^{+}{e}^{-}$ はいずれも完全に対消滅して、そのエネルギーとエントロピーはすべて光子に渡されるとする。対消滅は熱平衡を保ちながら進み（エントロピーは保存する）、ニュートリノには一切エネルギーが渡らないとする。化学ポテンシャルはすべて無視する。

十分後の時期（$T_{\gamma }\ll m_e$）において、光子温度を $T_{\gamma }$、ニュートリノ温度を $T_{\nu }$ とし、有効ニュートリノ数 $N_{\mathrm{eff}}$ を
$${\rho }_{\mathrm{rad}}={\rho }_{\gamma }\left[1+\frac{7}{8}{\left(\frac{4}{11}\right)}^{4/3}{N}_{\mathrm{eff}}\right]$$
で定義する（${\rho }_{\mathrm{rad}}$ は光子とニュートリノのエネルギー密度の和、${\rho }_{\gamma }$ は光子のエネルギー密度）。この模型における $N_{\mathrm{eff}}$ を正確な形（累乗を含む式）で求めよ。

空間的に平坦な一様等方宇宙を考える。計量の符号は $(-,+,+,+)$ とし、計量を
$$d{s}^2=-c^{2}d{t}^2+a(t{)}^2\left(d{\chi }^2+{\chi }^{2}d{\Omega }^2\right)$$
と書く。$a(t)$ はスケール因子で、現在時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$ と規格化する。$c$ は光速である。

宇宙の中身は、状態方程式 $p=w\rho c^2$（$w$ は定数で $w>-\frac{1}{3}$）に従う完全流体 1 成分だけとする。宇宙定数はなく、空間曲率は $0$ とする。現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

赤方偏移 $z$ の天体の角径距離 $d_A(z)$ は、赤方偏移の増加とともに増えたのち減少に転じる。$d_A(z)$ が最大になる赤方偏移 $z_{\ast }$ を $w$ の式で求めよ。