スペクトル指数とテンソル・スカラー比

スローロールの 1 次近似 $n_{s} = 1 - 6 ϵ_{V} + 2 η_{V}$ 、 $r = 16 ϵ_{V}$ を $ϕ_{*}$ で評価し、べき型などのポテンシャルについて $n_{s}$ と $r$ を e-folding 数 $N$ の式または値で求められる

前提

スローロール・パラメータと e-folding 数（大学院物理宇宙論）

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算数中学高校大学大学院

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スローロール・パラメータと e-folding 数（大学院物理宇宙論）

説明

インフレーション中に生まれた量子揺らぎは、宇宙マイクロ波背景放射（CMB）の温度揺らぎや銀河の分布の種になります。その揺らぎの統計的性質は、スケール依存性を表すスペクトル指数 $n_{s}$ と、重力波（テンソル揺らぎ）と密度揺らぎ（スカラー揺らぎ）の振幅の比であるテンソル・スカラー比 $r$ の 2 つの数でおもに特徴づけられます。この技能では、スローロール・パラメータ $ϵ_{V}, η_{V}$ を観測スケールの揺らぎが生まれた時刻の場の値 $ϕ_{*}$ で評価し、 $n_{s} = 1 - 6 ϵ_{V} + 2 η_{V}$ , $r = 16 ϵ_{V}$ からインフレーション模型の予言を e-folding 数 $N$ の式や値で求めます。観測値（ $n_{s} \approx 0.965$ , $r < 0.04$ 程度）と比べて模型を選別するときの基本の計算です。

なぜそうしてよいのか

$ℏ = c = 1$ 、 $M_{Pl}^{2} = 1/ (8 π G)$ とします。波数 $k$ の揺らぎは、その波長がハッブル半径を超える時刻（ $k = a H$ となる時刻、「地平線を出る」時刻）に振幅が決まり、以後は凍結します。スローロール近似の最低次で、そのときの曲率揺らぎ（スカラー）とテンソル揺らぎのパワースペクトルは、場の量子論の計算から
$P_{R} (k) = \frac{V}{24 π ^{2} M _{Pl}^{4} ϵ _{V}}, P_{t} (k) = \frac{2 V}{3 π ^{2} M _{Pl}^{4}}$
となることが知られています（右辺は $k = a H$ の時刻の場の値で評価）。この 2 つは結果として受け入れることにして、ここから $r$ と $n_{s}$ を導きます。比をとると直ちに $r \equiv P_{t} / P_{R} = 16 ϵ_{V}$ です。テンソルは $V$ だけに、スカラーは $V / ϵ_{V}$ によるので、ポテンシャルの傾きが急な（ $ϵ_{V}$ が大きい）模型ほど重力波が相対的に強くなります。

スペクトル指数は $n_{s} - 1 \equiv \frac{d lo g P _{R}}{d lo g k}$ で定義します（ $n_{s} = 1$ ならスケールによらない揺らぎ）。 $k = a H$ で $H$ はほぼ一定なので $d lo g k ≃ d lo g a = H d t$ 、スローロールの式 $3 H ϕ ˙ ≃ - V^{'}$ , $H^{2} ≃ V / (3 M_{Pl}^{2})$ を使うと
$\frac{d ϕ}{d lo g k} ≃ \frac{ϕ ˙}{H} = - \frac{V ^{'}}{3 H ^{2}} = - M_{Pl}^{2} \frac{V ^{'}}{V} .$
一方 $lo g P_{R} = lo g V - lo g ϵ_{V} +$ 定数、 $lo g ϵ_{V} = 2 lo g V^{'} - 2 lo g V +$ 定数なので $\frac{d lo g P _{R}}{d ϕ} = \frac{V ^{'}}{V} - 2 \frac{V ^{''}}{V ^{'}} + 2 \frac{V ^{'}}{V} = 3 \frac{V ^{'}}{V} - 2 \frac{V ^{''}}{V ^{'}}$ 。合成関数の微分で掛け合わせると
$n_{s} - 1 = - 3 M_{Pl}^{2} (\frac{V ^{'}}{V})^{2} + 2 M_{Pl}^{2} \frac{V ^{''}}{V} = - 6 ϵ_{V} + 2 η_{V}$
が得られます。

観測している CMB のスケールが地平線を出たのは、インフレーションの終わりより $N \approx 50$ 〜 $60$ e-folding 前です。そこで前の技能で $N$ から求めた $ϕ_{*}$ を $ϵ_{V}, η_{V}$ に代入すれば、 $n_{s}$ と $r$ が $N$ の関数として決まります。

手順

$V^{'}$ , $V^{''}$ を求め、 $ϵ_{V} = \frac{M _{Pl}^{2}}{2} (\frac{V ^{'}}{V})^{2}$ , $η_{V} = M_{Pl}^{2} \frac{V ^{''}}{V}$ を $ϕ$ の式で書く
$ϵ_{V} (ϕ_{end}) = 1$ からインフレーションの終わりの場の値 $ϕ_{end}$ を求める
$N = \frac{1}{M _{Pl}^{2}} \int_{ϕ_{end}}^{ϕ_{*}} \frac{V}{V ^{'}} d ϕ$ を解いて $ϕ_{*}$ を $N$ で表す
$ϵ_{V}, η_{V}$ を $ϕ = ϕ_{*}$ で評価し、 $N$ の式にする
$n_{s} = 1 - 6 ϵ_{V} + 2 η_{V}$ , $r = 16 ϵ_{V}$ に代入し、必要なら $N$ の値を入れる

例題

自然単位系 $ℏ = c = 1$ をとり、換算プランク質量を $M_{Pl} = (8 π G)^{- 1/2}$ とする。インフラトン $ϕ (> 0)$ のポテンシャルが $V (ϕ) = \frac{λ}{4} ϕ^{4}$ （ $λ > 0$ は定数）で、場は $ϕ$ が減る向きに転がる。インフレーションの終わりを $ϵ_{V} = 1$ で定め、観測スケールが地平線を出たのが終わりの $N = 59$ e-folding 前であるとする。スローロールの 1 次近似 $n_{s} = 1 - 6 ϵ_{V} + 2 η_{V}$ , $r = 16 ϵ_{V}$ を用いて、スペクトル指数 $n_{s}$ とテンソル・スカラー比 $r$ を、この順に正確な分数で求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $V^{'} = λ ϕ^{3}$ , $V^{''} = 3 λ ϕ^{2}$ より $\frac{V ^{'}}{V} = \frac{4}{ϕ}$ 。よって $ϵ_{V} = \frac{M _{Pl}^{2}}{2} \cdot \frac{16}{ϕ ^{2}} = \frac{8 M _{Pl}^{2}}{ϕ ^{2}}$ 、 $η_{V} = M_{Pl}^{2} \frac{3 λ ϕ ^{2}}{\frac{λ}{4} ϕ ^{4}} = \frac{12 M _{Pl}^{2}}{ϕ ^{2}}$ 。

【手順 2】 $ϵ_{V} = 1$ より $ϕ_{end}^{2} = 8 M_{Pl}^{2}$ 。

【手順 3】 $\frac{V}{V ^{'}} = \frac{ϕ}{4}$ なので $N = \frac{1}{M _{Pl}^{2}} \int_{ϕ_{end}}^{ϕ_{*}} \frac{ϕ}{4} d ϕ = \frac{ϕ _{*}^{2} - ϕ _{end}^{2}}{8 M _{Pl}^{2}}$ 、したがって $ϕ_{*}^{2} = 8 M_{Pl}^{2} (N + 1)$ 。

【手順 4】 $ϵ_{V} (ϕ_{*}) = \frac{1}{N + 1}$ 、 $η_{V} (ϕ_{*}) = \frac{12}{8 ( N + 1 )} = \frac{3}{2 ( N + 1 )}$ 。

【手順 5】
$n_{s} = 1 - \frac{6}{N + 1} + \frac{3}{N + 1} = 1 - \frac{3}{N + 1}, r = \frac{16}{N + 1} .$
$N = 59$ を代入すると $N + 1 = 60$ で、 $n_{s} = 1 - \frac{3}{60} = \frac{19}{20}$ 、 $r = \frac{16}{60} = \frac{4}{15}$ 。（ $r \approx 0.27$ は観測の上限を大きく超えるので、この模型は観測で棄却される。）

答え: $(\frac{19}{20}, \frac{4}{15})$

よくある誤り

$ϵ_{V}, η_{V}$ をインフレーションの終わり $ϕ_{end}$ で評価してしまう誤り（ $ϵ_{V} = 1$ となり $r = 16$ などの無意味な値になる）。正しくは観測スケールが地平線を出た $ϕ_{*}$ （終わりの $N$ e-folding 前）で評価する。
$n_{s}$ の係数を取り違えて $n_{s} = 1 - 2 ϵ_{V} + 6 η_{V}$ や $n_{s} = 1 + 6 ϵ_{V} - 2 η_{V}$ としてしまう誤り。正しくは $n_{s} - 1 = - 6 ϵ_{V} + 2 η_{V}$ 。 $V = \frac{λ}{4} ϕ^{4}$ なら $n_{s} = 1 - \frac{3}{N + 1}$ で、 $1 - \frac{18}{N + 1}$ などにはならない。
$n_{s}$ の定義の $- 1$ を忘れて $n_{s} = - 6 ϵ_{V} + 2 η_{V}$ としてしまう誤り。 $n_{s} = 1$ がスケール不変に対応するので、正しくは $n_{s} = 1 - 6 ϵ_{V} + 2 η_{V}$ （典型的に $1$ よりわずかに小さい）。
$ϕ_{*}$ の式で $ϕ_{end}$ の寄与を落として $ϕ_{*}^{2} = 8 M_{Pl}^{2} N$ としてしまう誤り。大きな $N$ では近似として許されるが、正確な値を求めるときは $ϕ_{*}^{2} = 8 M_{Pl}^{2} (N + 1)$ を使う（ $N = 59$ で $r = \frac{16}{60}$ であって $\frac{16}{59}$ ではない）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ を用い、換算プランク質量を $M_{Pl}$ とする。インフラトン場 $ϕ$ のポテンシャルが
$V (ϕ) = \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} (m > 0)$
で与えられ、場は $ϕ > 0$ の領域を $ϕ$ が減少する向きにスローロールするとする。スローロール・パラメータを
$ϵ_{V} = \frac{M _{Pl}^{2}}{2} (\frac{V ^{'}}{V})^{2}, η_{V} = M_{Pl}^{2} \frac{V ^{''}}{V}$
とし（ $^{'}$ は $ϕ$ による微分）、インフレーションは $ϵ_{V} = 1$ となる場の値 $ϕ_{end}$ で終わるとする。観測されるスケールがホライズンを出たときの場の値 $ϕ_{*}$ は、e-folding 数
$N = \frac{1}{M _{Pl}^{2}} \int_{ϕ_{end}}^{ϕ_{*}} \frac{V}{V ^{'}} d ϕ$
が $N = 60$ となる値とする。スローロールの 1 次近似 $n_{s} = 1 - 6 ϵ_{V} + 2 η_{V}$ 、 $r = 16 ϵ_{V}$ を $ϕ = ϕ_{*}$ で評価したとき、スカラー・スペクトル指数 $n_{s}$ とテンソル・スカラー比 $r$ の組 $(n_{s}, r)$ をこの順に既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ をとり、換算プランク質量を $M_{Pl}$ とする。平坦な FLRW 宇宙で、単一のスカラー場（インフラトン） $ϕ$ がポテンシャル
$V (ϕ) = μ^{10/3} ϕ^{2/3} (ϕ > 0, μ > 0 は定数)$
の上をスローロールで転がり落ちてインフレーションを起こすとする。スローロール・パラメータを
$ϵ_{V} = \frac{M _{Pl}^{2}}{2} (\frac{V ^{'}}{V})^{2}, η_{V} = M_{Pl}^{2} \frac{V ^{''}}{V}$
で定義し（ $^{'}$ は $ϕ$ による微分）、インフレーションは $ϵ_{V} = 1$ となる場の値 $ϕ_{end}$ で終わるとする。観測されるスケールがハッブル半径を横切ったときの場の値 $ϕ_{*}$ は、そこからインフレーション終了までの e-folding 数
$N = \frac{1}{M _{Pl}^{2}} \int_{ϕ_{end}}^{ϕ_{*}} \frac{V}{V ^{'}} d ϕ$
が $N = 60$ となる値で定める。スカラー（曲率）ゆらぎのスペクトル指数をスローロールの 1 次近似 $n_{s} = 1 - 6 ϵ_{V} + 2 η_{V}$ （ $ϕ = ϕ_{*}$ で評価）で計算するとき、 $n_{s}$ の値を既約分数で求めよ。