宇宙論の問題

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、換算プランク質量を $M_{\mathrm{Pl}}$ とする。インフラトン場 $\varphi$ のポテンシャルが
$$V(\varphi )=\frac{\lambda }{4}{\varphi }^4(\lambda >0)$$
で与えられ、場は $\varphi >0$ の領域を $\varphi$ が減少する向きにスローロールするとする。スローロール・パラメータを ${ϵ}_V=\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}{\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)}^2$ とし、インフレーションは ${ϵ}_V=1$ となる場の値 ${\varphi }_{\mathrm{end}}$ で終わるとする。インフレーションの終わりから数えた e-folding 数を
$$N=\frac{1}{M_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_{{\varphi }_{\mathrm{end}}}^{{\varphi }_{\ast }}\frac{V}{V^{\prime }}d\varphi$$
で定義する（${}^{\prime }$ は $\varphi$ による微分）。$N=60$ となる場の値 ${\varphi }_{\ast }$ について、比 $\frac{{\varphi }_{\ast }}{M_{\mathrm{Pl}}}$ を根号を用いた正確な値で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ をとり、換算プランク質量を $M_{\mathrm{Pl}}$ とする。平坦な FLRW 宇宙で、単一のスカラー場（インフラトン）$\varphi$ がポテンシャル
$$V(\varphi )={\mu }^{10/3}{\varphi }^{2/3}(\varphi >0,\mu >0\text{は定数})$$
の上をスローロールで転がり落ちてインフレーションを起こすとする。スローロール・パラメータを
$${ϵ}_V=\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}{\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)}^2,{\eta }_V=M_{\mathrm{Pl}}^2\frac{V^{\prime \prime }}{V}$$
で定義し（${}^{\prime }$ は $\varphi$ による微分）、インフレーションは ${ϵ}_V=1$ となる場の値 ${\varphi }_{\mathrm{end}}$ で終わるとする。観測されるスケールがハッブル半径を横切ったときの場の値 ${\varphi }_{\ast }$ は、そこからインフレーション終了までの e-folding 数
$$N=\frac{1}{M_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_{{\varphi }_{\mathrm{end}}}^{{\varphi }_{\ast }}\frac{V}{V^{\prime }}d\varphi$$
が $N=60$ となる値で定める。スカラー（曲率）ゆらぎのスペクトル指数をスローロールの 1 次近似 $n_s=1-6{ϵ}_V+2{\eta }_V$（$\varphi ={\varphi }_{\ast }$ で評価）で計算するとき、$n_s$ の値を既約分数で求めよ。

光速を $c=1$ とする単位系を用いる。空間的に平坦な一様等方宇宙が、状態方程式 $p=\rho$（$w=1$、いわゆる硬い物質）に従う 1 成分の完全流体だけで支配されているとする。スケール因子 $a(t)$ はフリードマン方程式
$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
と連続の式
$$\dot{\rho }+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho +p)=0$$
に従う（$G$ は万有引力定数、$\dot{}$ は宇宙時間 $t$ による微分）。宇宙は膨張しており（$\dot{a}>0$）、$t=0$ で $a=0$ とする。このとき $a(t)\propto t^n$ となる。指数 $n$ を求めよ。

空間的に平坦で、非相対論的物質が支配する宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。スケール因子は $a(t)\propto t^{2/3}$（$t>0$）、ハッブル・パラメータは $H=\dot{a}/a$、平均密度 $\bar{\rho }$ は $H^2=\frac{8\pi G}{3}\bar{\rho }$ を満たす（$G$ は万有引力定数）。

物質は小さな圧力をもち、その音速 $c_s$ は $a^{-1/2}$ に比例して変化するとする。共動波数 $k$ の密度ゆらぎ ${\delta }_k(t)$ は線形の方程式
$${\ddot{\delta }}_k+2H{\dot{\delta }}_k=\left(4\pi G\bar{\rho }-\frac{c_s^2{k}^2}{a^2}\right){\delta }_k$$
に従い、ジーンズ波数を $k_J=\frac{a\sqrt{4\pi G\bar{\rho }}}{c_s}$ で定義する。このとき $k_J$ は時間によらない定数になる。

$k=\frac{k_J}{2}$ のゆらぎについて、方程式が ${\delta }_k\propto t^n$ の形の解をもつような実数 $n$ のうち、大きいほう（成長モードの指数）を求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。初期宇宙に、質量 $0$ の仮想的な実スカラー粒子 $\phi$（ボース粒子、内部自由度 $1$、化学ポテンシャル $0$）があったとする。

$\phi$ ははじめ熱浴と熱平衡にあったが、温度 $T_d$ で熱浴から脱結合した。脱結合の直後、$\phi$ を除いた熱浴の有効エントロピー自由度は $g_{\ast s}=86$ であった。その後、熱浴は熱平衡を保ちながら膨張し、粒子の対消滅などで $g_{\ast s}$ が減っていき、ニュートリノが脱結合する時点では、熱浴は光子・電子と陽電子・3 世代のニュートリノと反ニュートリノだけからなり $g_{\ast s}=\frac{43}{4}$ であった。この時点でのニュートリノの温度は熱浴の温度に等しい。

脱結合した $\phi$ とニュートリノは、どちらもその後ほかの粒子と相互作用せず、温度はスケール因子 $a$ に対して $T\propto a^{-1}$ に従う。熱浴の共動エントロピー $s{a}^3$（$s=\frac{2{\pi }^2}{45}{g}_{\ast s}{T}^3$）は保存するとする。

相対論的な粒子のエネルギー密度は $\rho =\frac{{\pi }^2}{30}g{T}^4$ で、フェルミ粒子では内部自由度に $\frac{7}{8}$ をかける。ニュートリノ 1 世代（ニュートリノと反ニュートリノを合わせて内部自由度 $2$ のフェルミ粒子）のエネルギー密度を ${\rho }_{\nu ,1}$ として、ニュートリノ脱結合より後の時刻における比
$$\Delta N_{\mathrm{eff}}=\frac{{\rho }_{\phi }}{{\rho }_{\nu ,1}}$$
を既約分数で求めよ。