宇宙論の問題

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。標準模型に、質量が無視できる実スカラー場 $\varphi$（内部自由度 $1$）を加えた初期宇宙を考える。$\varphi$ は高温で標準模型の熱浴と熱平衡にあったが、温度 $T_d$ で瞬間的に脱結合し、その後はどの粒子とも相互作用せず、質量ゼロの粒子として自由に膨張するものとする。$T_d$ において、$\varphi$ を除いた熱浴のエントロピーの有効自由度は $g_{\ast s}(T_d)=\frac{427}{4}$ である。

その後、熱浴は断熱的に膨張する。温度 $T\simeq 1\mathrm{MeV}$ では、熱浴に含まれる相対論的粒子は光子、電子・陽電子、および3世代のニュートリノ・反ニュートリノ（各世代とも左巻きニュートリノと右巻き反ニュートリノのみ）だけである。この温度でニュートリノが瞬間的に脱結合し、その後に電子・陽電子対消滅が起こって、そのエントロピーはすべて光子に移るとする。各粒子はボース分布・フェルミ分布の相対論的極限に従い、化学ポテンシャルは無視する。

現在（電子・陽電子が消滅し尽くした後）の放射のエネルギー密度を
$${\rho }_{\mathrm{rad}}={\rho }_{\gamma }\left[1+\frac{7}{8}{\left(\frac{4}{11}\right)}^{4/3}{N}_{\mathrm{eff}}\right]$$
と書くとき、$\varphi$ による寄与 $\Delta N_{\mathrm{eff}}$（すなわち ${\rho }_{\varphi }$ を上式の $N_{\mathrm{eff}}$ の項として表したときの係数）を、分数と累乗を用いた厳密な形で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。初期宇宙に、質量 $0$ の仮想的な実スカラー粒子 $\phi$（ボース粒子、内部自由度 $1$、化学ポテンシャル $0$）があったとする。

$\phi$ ははじめ熱浴と熱平衡にあったが、温度 $T_d$ で熱浴から脱結合した。脱結合の直後、$\phi$ を除いた熱浴の有効エントロピー自由度は $g_{\ast s}=86$ であった。その後、熱浴は熱平衡を保ちながら膨張し、粒子の対消滅などで $g_{\ast s}$ が減っていき、ニュートリノが脱結合する時点では、熱浴は光子・電子と陽電子・3 世代のニュートリノと反ニュートリノだけからなり $g_{\ast s}=\frac{43}{4}$ であった。この時点でのニュートリノの温度は熱浴の温度に等しい。

脱結合した $\phi$ とニュートリノは、どちらもその後ほかの粒子と相互作用せず、温度はスケール因子 $a$ に対して $T\propto a^{-1}$ に従う。熱浴の共動エントロピー $s{a}^3$（$s=\frac{2{\pi }^2}{45}{g}_{\ast s}{T}^3$）は保存するとする。

相対論的な粒子のエネルギー密度は $\rho =\frac{{\pi }^2}{30}g{T}^4$ で、フェルミ粒子では内部自由度に $\frac{7}{8}$ をかける。ニュートリノ 1 世代（ニュートリノと反ニュートリノを合わせて内部自由度 $2$ のフェルミ粒子）のエネルギー密度を ${\rho }_{\nu ,1}$ として、ニュートリノ脱結合より後の時刻における比
$$\Delta N_{\mathrm{eff}}=\frac{{\rho }_{\phi }}{{\rho }_{\nu ,1}}$$
を既約分数で求めよ。

空間的に平坦で、非相対論的な一様気体だけが宇宙のエネルギー密度を担う宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。背景のスケール因子は $a\propto t^{2/3}$、ハッブルパラメータは $H=\dot{a}/a=2/(3t)$ である。背景の膨張に対して気体の圧力は無視できるが、ゆらぎに対しては圧力が効くものとする。

気体の温度は外部（背景放射との強い熱的結合）によって $T\propto a^{-1}$ に保たれている。そのため気体は等温的にふるまい、圧力ゆらぎと密度ゆらぎは $\delta p=c_s^2\delta \rho$ で結ばれる。ここで音速は $c_s^2\propto T\propto a^{-1}$ である。

ホライズンより十分小さいスケールで、ニュートン近似の線形摂動論を用いる。共動波数 $k$ のフーリエモードの密度コントラストを ${\delta }_k(t)=\delta {\rho }_k/\bar{\rho }$ とする。$G$ を重力定数、$\bar{\rho }$ を背景密度として、共動ジーンズ波数 $k_J$ を
$$k_J^2=\frac{4\pi G\bar{\rho }{a}^2}{c_s^2}$$
で定義する（この模型では $k_J$ は時間によらない定数になる）。

$0<k<k_J$ のモードの成長モードは ${\delta }_k\propto a^p$ の形のべき則に従う。指数 $p$ を $k$ と $k_J$ を用いて表せ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ をとり、換算プランク質量を $M_{\mathrm{Pl}}$ とする。平坦な FLRW 宇宙で、単一のスカラー場（インフラトン）$\varphi$ がポテンシャル
$$V(\varphi )={\mu }^{10/3}{\varphi }^{2/3}(\varphi >0,\mu >0\text{は定数})$$
の上をスローロールで転がり落ちてインフレーションを起こすとする。スローロール・パラメータを
$${ϵ}_V=\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}{\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)}^2,{\eta }_V=M_{\mathrm{Pl}}^2\frac{V^{\prime \prime }}{V}$$
で定義し（${}^{\prime }$ は $\varphi$ による微分）、インフレーションは ${ϵ}_V=1$ となる場の値 ${\varphi }_{\mathrm{end}}$ で終わるとする。観測されるスケールがハッブル半径を横切ったときの場の値 ${\varphi }_{\ast }$ は、そこからインフレーション終了までの e-folding 数
$$N=\frac{1}{M_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_{{\varphi }_{\mathrm{end}}}^{{\varphi }_{\ast }}\frac{V}{V^{\prime }}d\varphi$$
が $N=60$ となる値で定める。スカラー（曲率）ゆらぎのスペクトル指数をスローロールの 1 次近似 $n_s=1-6{ϵ}_V+2{\eta }_V$（$\varphi ={\varphi }_{\ast }$ で評価）で計算するとき、$n_s$ の値を既約分数で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。初期宇宙のある時期に、温度 $T$ の熱平衡にある熱浴が次の相対論的粒子（質量は $T$ に比べて無視できる）だけを含んでいるとする。すべての粒子は同じ温度 $T$ をもち、化学ポテンシャルは $0$ とする。

• 光子（ボース粒子、内部自由度 $2$）
• 電子と陽電子（フェルミ粒子、合わせて内部自由度 $4$）
• 3 世代のニュートリノと反ニュートリノ（フェルミ粒子、合わせて内部自由度 $6$）
• 仮想的な中性の実スカラー粒子 1 種（ボース粒子、内部自由度 $1$）

放射のエネルギー密度が $\rho =\frac{{\pi }^2}{30}{g}_{\ast }{T}^4$ と書けるとき、有効な相対論的自由度 $g_{\ast }$ を既約分数で求めよ。