初期宇宙の粒子種とエントロピー保存

相対論的粒子の $ρ = \frac{π ^{2}}{30} g_{eff} T^{4}$ 、 $s = \frac{2 π ^{2}}{45} g_{eff} T^{3}$ （フェルミ粒子は $\frac{7}{8} g$ ）を使い、粒子の対消滅前後の共動エントロピー保存から温度比（例: $T_{ν} / T_{γ} = (4/11)^{1/3}$ ）やエネルギー密度の比を求められる

前提

膨張する宇宙の光子気体（大学物理宇宙物理・宇宙論）
大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）

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算数中学高校大学大学院

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オイラーの公式（大学数学微分積分）
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境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））
同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）

説明

初期宇宙の高温の時代には、光子だけでなく電子・陽電子やニュートリノなども、質量が無視できるほど速く飛びまわる（相対論的な）粒子として熱平衡の気体をつくっていました。これらの粒子のエネルギー密度とエントロピー密度は、粒子の種類を数えた「有効自由度」 $g_{eff}$ を使って $ρ = \frac{π ^{2}}{30} g_{eff} T^{4}$ 、 $s = \frac{2 π ^{2}}{45} g_{eff} T^{3}$ とまとめて書けます（以下 $ℏ = c = k_{B} = 1$ ）。宇宙が冷えて電子・陽電子が対消滅すると、そのエントロピーは光子に渡されます。共動体積内のエントロピーが保存することを使うと、対消滅前後の温度の比（たとえばニュートリノと光子の温度比 $T_{ν} / T_{γ} = (4/11)^{1/3}$ ）やエネルギー密度の比が求められます。

なぜそうしてよいのか

前提の技能から、化学ポテンシャル $0$ の光子気体は偏光 2 つで $ρ_{γ} = \frac{π ^{2}}{15} T^{4}$ 、 $s_{γ} = \frac{4 π ^{2}}{45} T^{3}$ です（ $ℏ = c = k_{B} = 1$ の単位）。これは 1 つの状態（内部自由度）あたり $\frac{π ^{2}}{30} T^{4}$ 、 $\frac{2 π ^{2}}{45} T^{3}$ ということです。質量が無視できる粒子なら、ボース粒子でもフェルミ粒子でもエネルギーは $ε = ∣ p ∣$ で状態密度は光子と同じ形なので、違いは平均占有数だけです。エネルギー密度の積分は $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{3}}{e ^{x} \mp 1} d x$ （ $x = ε / T$ 、 $μ = 0$ ）に比例し、恒等式 $\frac{1}{e ^{x} + 1} = \frac{1}{e ^{x} - 1} - \frac{2}{e ^{2 x} - 1}$ と置換 $y = 2 x$ を使うと
$\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{3}}{e ^{x} + 1} d x = (1 - \frac{2}{2 ^{4}}) \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x = \frac{7}{8} \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x$
となります。そこで、内部自由度 $g$ のボース粒子は $g$ 、フェルミ粒子は $\frac{7}{8} g$ と数えて足し合わせたものを $g_{eff}$ とすれば、 $ρ = \frac{π ^{2}}{30} g_{eff} T^{4}$ です。相対論的な気体では $p = \frac{ρ}{3}$ で、 $μ = 0$ のとき $s = \frac{ρ + p}{T} = \frac{4 ρ}{3 T}$ なので（光子で確かめた関係と同じ） $s = \frac{2 π ^{2}}{45} g_{eff} T^{3}$ となります。例：光子 $g = 2$ 、電子と陽電子（それぞれスピンの向き 2 つ）は $\frac{7}{8} \times 4 = \frac{7}{2}$ 。

膨張する宇宙では、前提の技能と同じく共動体積 $V \propto a^{3}$ の中の気体は熱平衡を保ちながら断熱的に膨張するので、エントロピー $S = s V \propto g_{eff} (a T)^{3}$ が一定です。粒子の種類が変わらないあいだは $g_{eff}$ が一定なので $T \propto a^{- 1}$ ですが、温度が電子の質量程度まで下がると電子と陽電子が対消滅して光子になり、熱平衡にある粒子の $g_{eff}$ が減ります。このときも（ゆっくりした平衡過程なので）エントロピーは保存するので、 $g_{eff} (a T)^{3}$ が対消滅の前後で等しく、 $g_{eff}$ が減ったぶん $a T$ が大きくなります。つまり光子が「温められ」ます。

一方、ニュートリノは対消滅より前にほかの粒子との反応をやめて（脱結合して）いるので、対消滅のエントロピーを受け取らず、 $T_{ν} \propto a^{- 1}$ のまま冷えます。対消滅前は $T_{ν} = T_{γ}$ だったので、対消滅前後の光子の $a T$ の比が、そのまま $T_{γ} / T_{ν}$ になります。

手順

熱平衡にある相対論的粒子を挙げ、ボース粒子は $g$ 、フェルミ粒子は $\frac{7}{8} g$ として $g_{eff}$ を数える（光子 $2$ 、 $e^{\pm}$ 合わせて $\frac{7}{2}$ など）
対消滅などで変化する前と後の $g_{eff}$ を、エントロピーを分け合う粒子だけについて求める（脱結合した粒子は除く）
共動エントロピー保存 $g_{eff, 前} (a T)_{前}^{3} = g_{eff, 後} (a T)_{後}^{3}$ を立てる
脱結合した粒子は $a T$ 一定であることを使って温度比を求める：例 $\frac{T _{ν}}{T _{γ}} = (\frac{g _{eff, 後}}{g _{eff, 前}})^{1/3}$
エネルギー密度の比が必要なら $ρ = \frac{π ^{2}}{30} g_{eff} T^{4}$ を種類ごとに書き、温度比の 4 乗と自由度の比を掛ける

例題

$ℏ = c = k_{B} = 1$ とする。初期宇宙で、光子（内部自由度 $2$ のボース粒子）と電子・陽電子（それぞれ内部自由度 $2$ のフェルミ粒子）が同じ温度で熱平衡にあり、ニュートリノはすでに脱結合していて、その温度はこの時点で光子と等しく、以後 $T_{ν} \propto a^{- 1}$ （ $a$ はスケール因子）に従うとする。その後、電子と陽電子が対消滅して、そのエントロピーはすべて光子に渡されたとする。共動体積内のエントロピー $S \propto g_{eff} (a T)^{3}$ （ボース粒子は自由度 $g$ 、フェルミ粒子は $\frac{7}{8} g$ として数える）が対消滅の前後で保存するとして、対消滅が終わった後のニュートリノの温度と光子の温度の比 $\frac{T _{ν}}{T _{γ}}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1：対消滅前に熱平衡にあってエントロピーを担う粒子は光子と $e^{\pm}$ 。 $g_{eff, 前} = 2 + \frac{7}{8} \times (2 + 2) = 2 + \frac{7}{2} = \frac{11}{2}$ 。

手順 2：対消滅後は光子だけなので $g_{eff, 後} = 2$ 。ニュートリノは脱結合しているので数えない。

手順 3：共動エントロピー保存より $\frac{11}{2} (a T_{γ})_{前}^{3} = 2 (a T_{γ})_{後}^{3}$ 、よって $\frac{( a T _{γ} ) _{後}}{( a T _{γ} ) _{前}} = (\frac{11}{4})^{1/3}$ 。

手順 4：ニュートリノは $a T_{ν}$ 一定で、対消滅前は $T_{ν} = T_{γ}$ なので $(a T_{ν})_{後} = (a T_{γ})_{前}$ 。したがって
$\frac{T _{ν}}{T _{γ}} = \frac{( a T _{ν} ) _{後}}{( a T _{γ} ) _{後}} = (\frac{4}{11})^{1/3} .$

答え: $(\frac{4}{11})^{1/3}$

よくある誤り

フェルミ粒子の $\frac{7}{8}$ を忘れて、対消滅前を $g_{eff} = 2 + 4 = 6$ としてしまう誤り。正しくは $2 + \frac{7}{8} \times 4 = \frac{11}{2}$ で、温度比は $(\frac{4}{11})^{1/3}$ （ $(\frac{1}{3})^{1/3}$ ではない）。
エントロピーではなくエネルギーが保存するとして $g_{eff} (a T)^{4}$ を等しくおいてしまう誤り。膨張する共動体積内の気体は仕事をするのでエネルギーは保存せず、保存するのはエントロピー $g_{eff} (a T)^{3}$ 。
脱結合したニュートリノも $g_{eff}$ に入れて対消滅前後のエントロピー保存を立ててしまう誤り。ニュートリノはすでに反応しないので $e^{\pm}$ のエントロピーを受け取らず、別に $a T_{ν} = 一定$ として扱う。
比を逆にして $\frac{T _{ν}}{T _{γ}} = (\frac{11}{4})^{1/3}$ としてしまう誤り。対消滅で温められるのは光子のほうなので、ニュートリノのほうが低温で $\frac{T _{ν}}{T _{γ}} = (\frac{4}{11})^{1/3} < 1$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
初期宇宙を模した次のモデルを考える。自然単位系（ $ℏ = c = k_{B} = 1$ ）を用いる。
ある時刻に、光子（内部自由度 $g_{γ} = 2$ ）と、フェルミ粒子 $X$ とその反粒子 $X ˉ$ （内部自由度は 2 つ合わせて $g_{X} = 2$ ）が、温度 $T_{1}$ の熱平衡にあり、どれも相対論的である。また、別の軽い粒子 $Y$ はこの時刻にはすでにほかの粒子との相互作用を断っており（脱結合しており）、その温度もちょうど $T_{1}$ である。
その後、宇宙の膨張で温度が下がると、 $X$ と $X ˉ$ はすべて対消滅して光子になり、そのエントロピーはすべて光子に移る。 $Y$ はこの過程に関わらず、その温度はスケール因子 $a$ に反比例して下がる（ $T_{Y} \propto a^{- 1}$ ）。
相対論的粒子のエントロピー密度は $s = \frac{2 π ^{2}}{45} g_{eff} T^{3}$ （ $g_{eff}$ はボース粒子の内部自由度の和に、フェルミ粒子の内部自由度の和の $\frac{7}{8}$ 倍を加えたもの）で与えられ、光子と $X$ , $X ˉ$ からなる系の共動体積あたりのエントロピー $s a^{3}$ は保存されるとする。
対消滅が終わった後の、 $Y$ の温度 $T_{Y}$ と光子の温度 $T_{γ}$ の比 $\frac{T _{Y}}{T _{γ}}$ を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
一様等方に膨張する初期宇宙を考える。 $k_{B} = ℏ = c = 1$ の単位系を用いる。温度 $T$ の熱平衡にある質量の無視できる（相対論的な）粒子種のエネルギー密度 $ρ$ とエントロピー密度 $s$ は、内部自由度を $g$ として
$ρ = \frac{π ^{2}}{30} g_{eff} T^{4}, s = \frac{2 π ^{2}}{45} g_{eff} T^{3}$
で与えられる。ここで、ボース粒子では $g_{eff} = g$ 、フェルミ粒子では $g_{eff} = \frac{7}{8} g$ である（化学ポテンシャルは $0$ とする）。
ある仮想的な宇宙では、ニュートリノが他の粒子と相互作用しなくなった（脱結合した）時点で、次の粒子が同じ温度 $T$ の熱平衡にあり、すべて相対論的であった。
- 光子（ $g = 2$ ）
- 電子と陽電子（あわせて $g = 4$ のフェルミ粒子）
- 中性の実スカラー粒子 $ϕ$ （自身が反粒子、 $g = 1$ のボース粒子）
- 3 世代のニュートリノと反ニュートリノ（1 世代あたり、ニュートリノと反ニュートリノがそれぞれ $1$ つのヘリシティ状態をもち、あわせて $g = 2$ のフェルミ粒子）
脱結合の後、宇宙の温度が下がると、電子・陽電子と $ϕ$ は光子との熱平衡を保ったまま非相対論的になって消滅し、それらのエントロピーはすべて光子に移った。この過程で光子・電子・陽電子・ $ϕ$ からなる系の共動体積あたりのエントロピーは保存するとする。一方、脱結合したニュートリノは質量が無視でき、その温度はスケール因子に反比例して下がり続ける。
電子・陽電子と $ϕ$ が十分に消滅した後の時刻における、3 世代分のニュートリノと反ニュートリノのエネルギー密度の和 $ρ_{ν}$ と、光子（黒体放射）のエネルギー密度 $ρ_{γ}$ の比 $\frac{ρ _{ν}}{ρ _{γ}}$ を、正確な形で求めよ。

この技能の次に学べること

有効な相対論的自由度 g* と g*s （大学院物理宇宙論）