有効な相対論的自由度 g* と g*s

熱浴に含まれる相対論的粒子から $g_{*} = \sum_{B} g_{i} + \frac{7}{8} \sum_{F} g_{i}$ （温度が異なる成分は $(T_{i} / T)^{4}$ , $(T_{i} / T)^{3}$ の重みつき）を数え、放射のエネルギー密度 $ρ = \frac{π ^{2}}{30} g_{*} T^{4}$ とエントロピー密度 $s = \frac{2 π ^{2}}{45} g_{* s} T^{3}$ を求められる

前提

初期宇宙の粒子種とエントロピー保存（大学物理宇宙物理・宇宙論）

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算数中学高校大学大学院

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同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）
初期宇宙の粒子種とエントロピー保存（大学物理宇宙物理・宇宙論）

説明

初期宇宙の熱浴には光子だけでなく、電子・陽電子、ニュートリノ、さらに高温ではクォークやグルーオンなど多くの相対論的粒子が含まれます。それらの寄与を 1 つの数にまとめたのが有効な相対論的自由度 $g_{*}$ （エネルギー密度用）と $g_{* s}$ （エントロピー密度用）で、これを数えれば放射のエネルギー密度 $ρ = \frac{π ^{2}}{30} g_{*} T^{4}$ とエントロピー密度 $s = \frac{2 π ^{2}}{45} g_{* s} T^{3}$ がすぐに求まります（ $ℏ = c = k_{B} = 1$ ）。各時代の膨張率 $H \propto g_{*} T^{2}$ や、宇宙の温度と時刻の関係、今日の放射のエネルギー密度を見積もるときに使います。

なぜそうしてよいのか

単位は $ℏ = c = k_{B} = 1$ とします。質量が温度より十分小さい（相対論的な）粒子 1 種類で、内部自由度（スピン・偏極・粒子と反粒子・色など）が $g$ 個あるとき、化学ポテンシャルを 0 とすると、エネルギー密度は $ρ = g \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} \frac{p}{e ^{p / T} \mp 1} = \frac{g T ^{4}}{2 π ^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{3} d x}{e ^{x} \mp 1}$ （ $-$ はボース粒子、 $+$ はフェルミ粒子）です。ボース粒子では積分が $\frac{π ^{4}}{15}$ で $ρ = \frac{π ^{2}}{30} g T^{4}$ になります。フェルミ粒子では $\frac{1}{e ^{x} + 1} = \frac{1}{e ^{x} - 1} - \frac{2}{e ^{2 x} - 1}$ を使い、後ろの項で $y = 2 x$ と置換すると積分が $\frac{2}{2 ^{4}} = \frac{1}{8}$ 倍になるので、全体がボース粒子の $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ 倍です。したがって、すべての粒子が同じ温度 $T$ なら $ρ = \frac{π ^{2}}{30} g_{*} T^{4}, g_{*} = ボース \sum g_{i} + \frac{7}{8} フェルミ \sum g_{i}$ とまとめられます。

相対論的な気体では圧力が $p = \frac{ρ}{3}$ で、化学ポテンシャルが 0 なら熱力学の関係 $T s = ρ + p$ から $s = \frac{4 ρ}{3 T} = \frac{2 π ^{2}}{45} g T^{3}$ （フェルミ粒子は $\frac{7}{8}$ 倍）です。ここで、ニュートリノのように熱浴から切り離されて別の温度 $T_{i}$ をもつ成分があると、エネルギー密度への寄与は $T_{i}^{4}$ 、エントロピー密度への寄与は $T_{i}^{3}$ に比例します。光子の温度 $T$ を基準に書くため、それぞれ $(T_{i} / T)^{4}$ 、 $(T_{i} / T)^{3}$ の重みを付けて $g_{*} = B \sum g_{i} (\frac{T _{i}}{T})^{4} + \frac{7}{8} F \sum g_{i} (\frac{T _{i}}{T})^{4}, g_{* s} = B \sum g_{i} (\frac{T _{i}}{T})^{3} + \frac{7}{8} F \sum g_{i} (\frac{T _{i}}{T})^{3}$ と定義します。全成分が同じ温度なら $g_{*} = g_{* s}$ ですが、温度の違う成分があると両者は異なります。

数えるときの基本値は、光子 $g = 2$ （偏極 2 つ）、電子と陽電子を合わせて $g = 4$ （それぞれスピン 2 状態）、ニュートリノは 1 世代あたり粒子・反粒子の各 1 ヘリシティで $g = 2$ （3 世代で 6）です。例えば電子・陽電子の対消滅の前（ $T \sim$ 数 MeV）では $g_{*} = 2 + \frac{7}{8} (4 + 6) = 10.75$ です。

手順

その温度で相対論的（質量 $≪ T$ ）な粒子をすべて書き出し、ボース粒子かフェルミ粒子かを分ける
各粒子の内部自由度 $g_{i}$ を数える（光子 2、 $e^{\pm}$ 合わせて 4、ニュートリノは 1 世代あたり $ν, ν ˉ$ 合わせて 2）
各成分の温度 $T_{i}$ と基準温度 $T$ （光子の温度）の比を確かめる。対消滅後のニュートリノなら $\frac{T _{ν}}{T} = (\frac{4}{11})^{1/3}$
$g_{*} = \sum_{B} g_{i} (\frac{T _{i}}{T})^{4} + \frac{7}{8} \sum_{F} g_{i} (\frac{T _{i}}{T})^{4}$ 、 $g_{* s}$ は同じ式で 4 乗を 3 乗に替えて計算する
$ρ = \frac{π ^{2}}{30} g_{*} T^{4}$ 、 $s = \frac{2 π ^{2}}{45} g_{* s} T^{3}$ に代入する

例題

$ℏ = c = k_{B} = 1$ とする。今日の宇宙で、光子（温度 $T$ ）と、質量を無視できる 3 世代のニュートリノ・反ニュートリノ（温度 $T_{ν} = (\frac{4}{11})^{1/3} T$ 、1 世代あたり粒子と反粒子それぞれ 1 ヘリシティ）が相対論的な成分のすべてであるとする。エントロピー密度を $s = \frac{2 π ^{2}}{45} g_{* s} T^{3}$ と書いたときの $g_{* s}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1・2: ボース粒子は光子で $g = 2$ 。フェルミ粒子はニュートリノ・反ニュートリノで、 $3$ 世代 $\times$ （粒子＋反粒子） $\times 1$ ヘリシティ $= 6$ 。

手順 3: 光子の温度を基準 $T$ とする。ニュートリノは $(\frac{T _{ν}}{T})^{3} = \frac{4}{11}$ 。

手順 4: エントロピーなので 3 乗の重みを使い、 $g_{* s} = 2 + \frac{7}{8} \cdot 6 \cdot \frac{4}{11} = 2 + \frac{21}{4} \cdot \frac{4}{11} = 2 + \frac{21}{11} = \frac{43}{11} \approx 3.91.$ （参考: エネルギー密度用は 4 乗の重みで $g_{*} = 2 + \frac{21}{4} (\frac{4}{11})^{4/3} \approx 3.36$ となり、 $g_{* s}$ とは異なる。）

答え: $\frac{43}{11}$

よくある誤り

フェルミ粒子の因子 $\frac{7}{8}$ を付け忘れ、対消滅前の $g_{*}$ を $2 + 4 + 6 = 12$ としてしまう誤り。正しくは $g_{*} = 2 + \frac{7}{8} (4 + 6) = 10.75$ 。
温度の違う成分に、エネルギー密度でもエントロピー密度でも同じ重みを使ってしまう誤り（例: $g_{* s}$ に $(\frac{T _{ν}}{T})^{4}$ を使う）。正しくは $ρ \propto T^{4}$ なので $g_{*}$ は 4 乗、 $s \propto T^{3}$ なので $g_{* s}$ は 3 乗の重みで、今日は $g_{*} \approx 3.36$ 、 $g_{* s} = \frac{43}{11} \approx 3.91$ 。
電子の自由度を $g = 2$ だけとして陽電子を数え忘れる誤り、あるいはニュートリノ 1 世代を $g = 4$ （スピン 2 状態 $\times$ 粒子・反粒子）と数えてしまう誤り。正しくは $e^{-}$ , $e^{+}$ はそれぞれスピン 2 状態で合わせて $4$ 、質量のないニュートリノは左巻きの $ν$ と右巻きの $ν ˉ$ だけで 1 世代あたり $2$ 。
非相対論的になった粒子（質量 $m ≫ T$ ）も $g_{*}$ に数えてしまう誤り。正しくはその寄与は $e^{- m / T}$ で急速に小さくなるので除く。例えば今日の電子は $T \approx 2 \times 1 0^{- 4} eV ≪ m_{e}$ なので $g_{*}$ に入らない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = k_{B} = 1$ を用いる。初期宇宙のある時期に、温度 $T$ の熱平衡にある熱浴が次の相対論的粒子（質量は $T$ に比べて無視できる）だけを含んでいるとする。すべての粒子は同じ温度 $T$ をもち、化学ポテンシャルは $0$ とする。
- 光子（ボース粒子、内部自由度 $2$ ）
- 電子と陽電子（フェルミ粒子、合わせて内部自由度 $4$ ）
- 3 世代のニュートリノと反ニュートリノ（フェルミ粒子、合わせて内部自由度 $6$ ）
- 仮想的な中性の実スカラー粒子 1 種（ボース粒子、内部自由度 $1$ ）
放射のエネルギー密度が $ρ = \frac{π ^{2}}{30} g_{*} T^{4}$ と書けるとき、有効な相対論的自由度 $g_{*}$ を既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

脱結合と粒子種の温度比・有効ニュートリノ数（大学院物理宇宙論）
ビッグバン元素合成とヘリウムの質量比（大学院物理宇宙論）