脱結合と粒子種の温度比・有効ニュートリノ数

脱結合した粒子種と熱浴のエントロピーを別々に保存させて、対消滅後の温度比（例: $T_{ν} / T_{γ} = (4/11)^{1/3}$ ）を求め、追加の粒子や異なる脱結合時期を含む模型での $N_{eff}$ や $Δ N_{eff}$ を正確な形で求められる

前提

有効な相対論的自由度 g* と g*s （大学院物理宇宙論）

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算数中学高校大学大学院

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オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））
同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）
初期宇宙の粒子種とエントロピー保存（大学物理宇宙物理・宇宙論）
有効な相対論的自由度 g* と g*s （大学院物理宇宙論）

説明

初期宇宙では、ある粒子種が熱浴（光子などと一緒に熱平衡にある粒子の集まり）との反応をやめる「脱結合」を起こすと、その後は熱浴とは別の温度を持つようになります。この技能では、脱結合した粒子種と熱浴のエントロピーを別々に保存させることで、電子・陽電子の対消滅後のニュートリノと光子の温度比 $T_{ν} / T_{γ} = (4/11)^{1/3}$ のような温度比を求めます。さらにその温度比から、光子以外の放射のエネルギー密度をニュートリノ何種類分かで表す有効ニュートリノ数 $N_{eff}$ や、新しい軽い粒子による増分 $Δ N_{eff}$ を正確な形で計算できるようになります。

なぜそうしてよいのか

膨張宇宙で熱平衡を保つ熱浴は、断熱的に（可逆に）膨張するので、共動体積あたりのエントロピー $S = s a^{3} = \frac{2 π ^{2}}{45} g_{* s} T^{3} a^{3}$ が保存します。したがって熱浴の温度は $T \propto g_{* s}^{- 1/3} a^{- 1}$ と変わります。 $g_{* s}$ が一定なら単に $T \propto 1/ a$ ですが、ある粒子が非相対論的になって対消滅すると $g_{* s}$ が減り、そのぶんのエントロピーが残りの熱浴粒子に渡されて、熱浴の温度は $1/ a$ より遅く下がります（「温められる」）。

一方、すでに脱結合した相対論的粒子は熱浴と反応しないので、この加熱を受けません。脱結合後の粒子は自由に飛び、運動量が $p \propto 1/ a$ と赤方偏移するだけなので、分布関数は温度 $T_{X} \propto 1/ a$ の熱分布の形を保ちます。つまり脱結合した種の $T_{X} a$ は一定で、熱浴の $T a$ は $g_{* s}^{- 1/3}$ に比例して増えます。脱結合の瞬間には $T_{X} = T$ なので、そこから後の時刻では
$\frac{T _{X}}{T} = (\frac{g _{* s}^{(after)}}{g _{* s}^{(dec)}})^{1/3}$
となります。ここで $g_{* s}^{(dec)}$ は $X$ の脱結合時の熱浴（ $X$ 自身は除く）の値、 $g_{* s}^{(after)}$ は着目する時刻の熱浴の値です。ニュートリノなら、脱結合時の熱浴は $γ, e^{\pm}$ で $g_{* s} = 2 + \frac{7}{8} \cdot 4 = \frac{11}{2}$ 、対消滅後は $γ$ だけで $g_{* s} = 2$ なので $T_{ν} / T_{γ} = (4/11)^{1/3}$ です。

有効ニュートリノ数は、光子以外の相対論的成分のエネルギー密度 $ρ_{extra}$ を「温度 $T_{ν} = (4/11)^{1/3} T_{γ}$ のニュートリノ 1 種（粒子と反粒子で $g = 2$ のフェルミオン）」の $ρ_{ν}^{(1)} = \frac{7}{8} \cdot 2 \cdot \frac{π ^{2}}{30} T_{ν}^{4}$ を単位に数えたもので、 $ρ_{r} = ρ_{γ} [1 + \frac{7}{8} (\frac{4}{11})^{4/3} N_{eff}]$ と定義されます。瞬間脱結合の近似では標準模型で $N_{eff} = 3$ です（脱結合が瞬間的でない効果などを入れた精密値は約 $3.04$ ）。温度 $T_{X}$ 、自由度 $g_{X}$ のボソンが加われば $Δ N_{eff} = \frac{g _{X} T _{X}^{4}}{\frac{7}{4} T _{ν}^{4}} = \frac{4}{7} g_{X} (\frac{T _{X}}{T _{ν}})^{4}$ （フェルミオンならさらに $\frac{7}{8}$ 倍）です。

手順

脱結合する粒子種 $X$ と、その脱結合時に熱浴に残っている粒子を確認し、熱浴の $g_{* s}^{(dec)}$ を数える（ $X$ 自身は含めない）
着目する時刻（対消滅などが終わった後）の熱浴の $g_{* s}^{(after)}$ を数える
熱浴のエントロピー保存 $g_{* s} T^{3} a^{3} =$ 一定と、脱結合種の $T_{X} a =$ 一定から $\frac{T _{X}}{T} = (\frac{g _{* s}^{(after)}}{g _{* s}^{(dec)}})^{1/3}$ を求める
必要なら比を組み合わせて $T_{X} / T_{ν}$ を求める（例： $\frac{T _{X}}{T _{ν}} = \frac{T _{X} / T _{γ}}{( 4/11 ) ^{1/3}}$ ）
ニュートリノ 1 種のエネルギー密度を単位に $Δ N_{eff} = \frac{ρ _{X}}{\frac{7}{8} \cdot 2 \cdot \frac{π ^{2}}{30} T _{ν}^{4}}$ を計算する（ボソンなら $\frac{4}{7} g_{X} (T_{X} / T_{ν})^{4}$ 、フェルミオンなら $\frac{1}{2} g_{X} (T_{X} / T_{ν})^{4}$ ）

例題

自然単位系 $ℏ = c = k_{B} = 1$ をとる。質量の無視できる実スカラー粒子 $X$ （内部自由度 $g_{X} = 1$ ）が、熱浴の $g_{* s} = \frac{427}{4}$ （標準模型の全粒子が相対論的な時期）のときに瞬間的に脱結合したとする。その後 $X$ は何とも相互作用しない。ニュートリノは $g_{* s} = \frac{43}{4}$ （ $γ$ , $e^{\pm}$ , 3 種のニュートリノ）の時期に瞬間的に脱結合するとし、電子・陽電子の対消滅後の時期に $X$ が与える有効ニュートリノ数の増分 $Δ N_{eff}$ を正確な形で求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $X$ の脱結合時の熱浴は $g_{* s}^{(dec)} = \frac{427}{4}$ 。

【手順 2】比べたいのはニュートリノの温度なので、ニュートリノが脱結合する直前（ニュートリノもまだ熱浴の一員）を「後」の時刻にとる。このとき $g_{* s}^{(after)} = \frac{43}{4}$ 。

【手順 3】 $X$ 脱結合からニュートリノ脱結合までは熱浴のエントロピーが保存し、 $X$ は $T_{X} a =$ 一定なので
$\frac{T _{X}}{T _{ν}} = (\frac{43/4}{427/4})^{1/3} = (\frac{43}{427})^{1/3}$
（ニュートリノ脱結合時には $T_{ν} = T$ ）。

【手順 4】ニュートリノ脱結合以後は $X$ もニュートリノもどちらも熱浴と切れていて、ともに温度が $1/ a$ に比例して下がるので、この比は対消滅後もそのまま保たれる。（ $T_{γ}$ との比は $T_{X} / T_{γ} = (43/427)^{1/3} (4/11)^{1/3}$ 。）

【手順 5】 $X$ はボソンで $g_{X} = 1$ なので
$Δ N_{eff} = \frac{\frac{π ^{2}}{30} \cdot 1 \cdot T _{X}^{4}}{\frac{7}{8} \cdot 2 \cdot \frac{π ^{2}}{30} T _{ν}^{4}} = \frac{4}{7} (\frac{43}{427})^{4/3} \approx 0.027.$

答え: $\frac{4}{7} (\frac{43}{427})^{4/3}$

よくある誤り

脱結合した種の温度比を $g_{*}$ の比の $1/4$ 乗として $T_{X} / T = (g_{*}^{(after)} / g_{*}^{(dec)})^{1/4}$ としてしまう誤り。保存するのはエネルギーではなくエントロピー $s \propto g_{* s} T^{3}$ なので、正しくは $1/3$ 乗で $T_{X} / T = (g_{* s}^{(after)} / g_{* s}^{(dec)})^{1/3}$ 。
ニュートリノ温度で比の分子分母を逆にして $T_{ν} / T_{γ} = (11/4)^{1/3}$ としてしまう誤り。対消滅で温められるのは光子の方なので $T_{γ} > T_{ν}$ で、正しくは $T_{ν} / T_{γ} = (4/11)^{1/3}$ （ $g_{* s}$ が $\frac{11}{2} \to 2$ と減る）。
$Δ N_{eff}$ の単位にするニュートリノ 1 種の自由度を $g = 1$ や $\frac{7}{8}$ としてしまう誤り。ニュートリノと反ニュートリノで $g = 2$ 、フェルミオンなので $\frac{7}{8}$ がかかり、単位は $\frac{7}{8} \cdot 2 \cdot \frac{π ^{2}}{30} T_{ν}^{4}$ 。ボソン 1 自由度なら $Δ N_{eff} = \frac{4}{7} (T_{X} / T_{ν})^{4}$ 。
$g_{* s}^{(dec)}$ に脱結合する $X$ 自身の自由度を含めてしまう誤り。 $X$ のエントロピーは $X$ 側で別に保存するので、熱浴の比には $X$ を除いた値を使う。たとえばニュートリノの場合は $g_{* s}^{(dec)} = \frac{11}{2}$ （ $γ, e^{\pm}$ ）で、 $\frac{43}{4}$ ではない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = k_{B} = 1$ を用いる。初期宇宙に、質量 $0$ の仮想的な実スカラー粒子 $φ$ （ボース粒子、内部自由度 $1$ 、化学ポテンシャル $0$ ）があったとする。
$φ$ ははじめ熱浴と熱平衡にあったが、温度 $T_{d}$ で熱浴から脱結合した。脱結合の直後、 $φ$ を除いた熱浴の有効エントロピー自由度は $g_{* s} = 86$ であった。その後、熱浴は熱平衡を保ちながら膨張し、粒子の対消滅などで $g_{* s}$ が減っていき、ニュートリノが脱結合する時点では、熱浴は光子・電子と陽電子・3 世代のニュートリノと反ニュートリノだけからなり $g_{* s} = \frac{43}{4}$ であった。この時点でのニュートリノの温度は熱浴の温度に等しい。
脱結合した $φ$ とニュートリノは、どちらもその後ほかの粒子と相互作用せず、温度はスケール因子 $a$ に対して $T \propto a^{- 1}$ に従う。熱浴の共動エントロピー $s a^{3}$ （ $s = \frac{2 π ^{2}}{45} g_{* s} T^{3}$ ）は保存するとする。
相対論的な粒子のエネルギー密度は $ρ = \frac{π ^{2}}{30} g T^{4}$ で、フェルミ粒子では内部自由度に $\frac{7}{8}$ をかける。ニュートリノ 1 世代（ニュートリノと反ニュートリノを合わせて内部自由度 $2$ のフェルミ粒子）のエネルギー密度を $ρ_{ν, 1}$ として、ニュートリノ脱結合より後の時刻における比
$Δ N_{eff} = \frac{ρ _{φ}}{ρ _{ν, 1}}$
を既約分数で求めよ。

脱結合と粒子種の温度比・有効ニュートリノ数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題