膨張する宇宙の光子気体

統計力学で得た光子気体の圧力 $p = \frac{u}{3}$ （ $u = \frac{4 σ}{c} T^{4}$ ）とエントロピー $S = \frac{4}{3} \frac{u}{T} V$ を、宇宙の共動体積 $V \propto a^{3}$ に当てはめ、断熱膨張で $V T^{3}$ が一定になることから $T \propto a^{- 1}$ を導き、晴れ上がりから現在までに共動領域内の光子気体が外にした仕事 $W = \int p d V$ と、エネルギー・エントロピーの変化を求められる

前提

スケール因子と宇宙論的赤方偏移（大学物理宇宙物理・宇宙論）
光子気体の分配関数と自由エネルギー（大学物理統計力学）

この技能までの道筋（138 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））
波の重ね合わせと自由端・固定端反射（高校物理波動（知識））
音の性質とうなり（高校物理波動（知識））
ドップラー効果のしくみ（高校物理波動（知識））
太陽系の天体と銀河系（中学理科地学分野の用語と知識）
宇宙の膨張とハッブル・ルメートルの法則（高校地学恒星と宇宙（知識））
赤方偏移と後退速度（高校地学恒星と宇宙）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
ウィーンの変位則と表面温度（高校地学恒星と宇宙）
スケール因子と宇宙論的赤方偏移（大学物理宇宙物理・宇宙論）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体分子運動論（高校物理熱と気体）
理想気体の内部エネルギー（高校物理熱と気体）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）
熱力学第一法則（高校物理熱と気体）
定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
熱機関のサイクルと熱効率（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（高校物理熱と気体）
一般の準静的過程の仕事と熱（大学物理熱力学）
カルノーサイクル（大学物理熱力学）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
カルノーの定理と効率・成績係数の上限（大学物理熱力学）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
可逆過程のエントロピー変化（大学物理熱力学）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
熱力学関数と自然な変数（大学物理熱力学）
分配関数から求める自由エネルギー・エントロピー・熱容量（大学物理統計力学）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
量子調和振動子の統計力学（大学物理統計力学）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
光子気体の分配関数と自由エネルギー（大学物理統計力学）

説明

宇宙を満たす放射（光子気体）を、宇宙の膨張とともに大きくなる「共動体積」 $V \propto a^{3}$ に閉じ込められた熱力学の系として扱う技能です。光子気体の圧力 $p = \frac{u}{3}$ とエントロピー $S = \frac{4}{3} \frac{u}{T} V$ を使うと、膨張が断熱的であることから $V T^{3} = 一定$ 、つまり $T \propto a^{- 1}$ が導けます。さらに、晴れ上がりから現在までに共動領域内の光子気体がした仕事 $W = \int p d V$ や、内部エネルギー・エントロピーの変化を求められます。CMB の温度がなぜ $1 + z$ に比例して高かったのかを、熱力学から理解する場面で使います。

なぜそうしてよいのか

前提の技能で求めた自由エネルギー $F = - \frac{π ^{2} k _{B}^{4}}{45 ℏ ^{3} c ^{3}} V T^{4}$ を、定数 $b = \frac{π ^{2} k _{B}^{4}}{15 ℏ ^{3} c ^{3}}$ を使って $F = - \frac{b}{3} V T^{4}$ と書きます（ステファン・ボルツマン定数 $σ$ を使えば $b = \frac{4 σ}{c}$ ）。すると $S = - \frac{\partial F}{\partial T} = \frac{4}{3} bV T^{3}$ 、 $p = - \frac{\partial F}{\partial V} = \frac{b}{3} T^{4}$ 、内部エネルギー $U = F + T S = bV T^{4}$ で、エネルギー密度 $u = \frac{U}{V} = b T^{4}$ を使えば $p = \frac{u}{3}$ 、 $S = \frac{4}{3} \frac{u}{T} V$ と書けます。

宇宙は一様なので、膨張とともに広がる仮想的な箱（共動体積 $V \propto a^{3}$ ）を考えると、箱の壁を通って出ていく光子と入ってくる光子はつり合い、箱の外との間で正味の熱のやりとりはありません。しかも膨張はゆっくりで、光子気体は各瞬間に熱平衡にあるとみなせるので、これは可逆な断熱変化で、エントロピーは一定です。 $S = \frac{4}{3} bV T^{3} = 一定$ から $V T^{3} = 一定$ 、 $V \propto a^{3}$ を入れて $T \propto a^{- 1}$ が得られます。これは「波長が $a$ に比例して伸びる」という前提の技能の結果と一致します。

箱の中の光子気体は、膨張する壁を押して仕事をします。熱力学第一法則 $d U = - p d V$ （熱の出入りなし）より、した仕事 $W = \int p d V$ のぶんだけ内部エネルギーが減ります。実際、 $U = bV T^{4} \propto a^{3} \cdot a^{- 4} = a^{- 1}$ なので、共動領域内の放射のエネルギーは膨張とともに減っていきます。仕事を直接積分するときは、 $T^{4} = T_{1}^{4} (\frac{V _{1}}{V})^{4/3}$ （ $V T^{3}$ 一定から）を $p = \frac{b}{3} T^{4}$ に入れて $V$ で積分し、結果が $U_{1} - U_{2}$ と一致することを確かめられます。

手順

光子気体の量を $b = \frac{4 σ}{c}$ で書く： $u = b T^{4}$ 、 $p = \frac{u}{3} = \frac{b}{3} T^{4}$ 、 $U = bV T^{4}$ 、 $S = \frac{4}{3} bV T^{3}$
共動体積を $V \propto a^{3}$ とし、断熱膨張で $S$ 一定から $V T^{3} = 一定$ 、 $T \propto a^{- 1}$ を使って、各時刻の $V$ と $T$ を表す（ $1 + z = \frac{a _{0}}{a}$ より $V = \frac{V _{0}}{( 1 + z ) ^{3}}$ 、 $T = T_{0} (1 + z)$ ）
仕事を求める： $p = \frac{b}{3} T_{1}^{4} (\frac{V _{1}}{V})^{4/3}$ を $W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p d V$ に入れて積分する
内部エネルギーの変化 $Δ U = U_{2} - U_{1}$ を求め、第一法則 $Δ U = - W$ で検算する
エントロピーの変化は、可逆断熱変化なので $Δ S = 0$ とする

例題

宇宙の光子気体を考える。ある共動領域の現在の体積を $V_{0}$ 、現在の光子気体の温度を $T_{0}$ とし、晴れ上がりの時点の赤方偏移を $z_{1}$ とする。共動領域の体積はスケール因子の 3 乗に比例し、光子気体は常に熱平衡にあって断熱的に膨張するとする。光子気体のエネルギー密度は $u = \frac{4 σ}{c} T^{4}$ 、圧力は $p = \frac{u}{3}$ とする（ $σ$ はステファン・ボルツマン定数、 $c$ は光速）。晴れ上がりから現在までに、この共動領域内の光子気体が外にした仕事 $W = \int p d V$ を、 $σ, c, V_{0}, T_{0}, z_{1}$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1： $b = \frac{4 σ}{c}$ と置くと、 $p = \frac{b}{3} T^{4}$ 、 $U = bV T^{4}$ 。

手順 2： $1 + z = \frac{a _{0}}{a}$ と $V \propto a^{3}$ 、断熱膨張での $T \propto a^{- 1}$ から、晴れ上がりの時点の体積と温度は $V_{1} = \frac{V _{0}}{( 1 + z _{1} ) ^{3}}$ 、 $T_{1} = T_{0} (1 + z_{1})$ 。途中では $V T^{3} = V_{1} T_{1}^{3}$ なので $T^{4} = T_{1}^{4} (\frac{V _{1}}{V})^{4/3}$ 。

手順 3：
$W = \int_{V_{1}}^{V_{0}} \frac{b}{3} T_{1}^{4} V_{1}^{4/3} V^{- 4/3} d V = b T_{1}^{4} V_{1}^{4/3} (V_{1}^{- 1/3} - V_{0}^{- 1/3}) = b T_{1}^{4} V_{1} [1 - (\frac{V _{1}}{V _{0}})^{1/3}] .$
$b T_{1}^{4} V_{1} = b T_{0}^{4} V_{0} (1 + z_{1})$ 、 $(\frac{V _{1}}{V _{0}})^{1/3} = \frac{1}{1 + z _{1}}$ なので
$W = b V_{0} T_{0}^{4} (1 + z_{1}) \cdot \frac{z _{1}}{1 + z _{1}} = b V_{0} T_{0}^{4} z_{1} = \frac{4 σ z _{1} V _{0} T _{0}^{4}}{c} .$

手順 4：検算。 $U_{1} = b V_{1} T_{1}^{4} = b V_{0} T_{0}^{4} (1 + z_{1})$ 、 $U_{0} = b V_{0} T_{0}^{4}$ なので $U_{1} - U_{0} = b V_{0} T_{0}^{4} z_{1} = W$ となり、 $Δ U = - W$ を満たす。

手順 5：この間のエントロピー変化は $0$ である。

答え: $\frac{4 σ z _{1} V _{0} T _{0}^{4}}{c}$

よくある誤り

共動領域内の光子のエネルギーが膨張しても保存するとして $U \propto a^{0}$ としてしまう誤り。光子気体は膨張する壁に仕事をするので、正しくは $U = bV T^{4} \propto a^{3} \cdot a^{- 4} = a^{- 1}$ と減り、 $Δ U = - W$ 。
単原子分子の理想気体の断熱変化の式 $T V^{2/3} = 一定$ を光子気体に当てはめ、 $T \propto a^{- 2}$ としてしまう誤り。光子気体では $S = \frac{4}{3} bV T^{3}$ が一定なので $V T^{3} = 一定$ （ $p V^{4/3} = 一定$ ）、 $T \propto a^{- 1}$ 。
仕事の積分で圧力を一定とみなし、 $W = p_{1} (V_{0} - V_{1})$ などとしてしまう誤り。膨張とともに $p = \frac{b}{3} T^{4} \propto V^{- 4/3}$ と下がるので、 $p$ を $V$ の関数で表してから積分する。
宇宙が冷えたのでエントロピーが減ったとしてしまう誤り。温度は下がっても体積が増え、 $S = \frac{4}{3} bV T^{3} \propto a^{3} \cdot a^{- 3}$ は一定で、正しくは $Δ S = 0$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
膨張する宇宙の中で、宇宙とともに膨張する（共動の）領域に閉じこめられた光子気体を考える。この領域の体積はスケール因子 $a$ を用いて $V \propto a^{3}$ と変化し、光子気体は外部と熱のやりとりをせずに準静的に（断熱的に）膨張するとする。光子気体のエネルギー密度・圧力・エントロピーは、温度 $T$ と体積 $V$ を用いて
$u = \frac{4 σ}{c} T^{4}, p = \frac{u}{3}, S = \frac{4}{3} \frac{u}{T} V$
で与えられる（ $σ$ はシュテファン・ボルツマン定数、 $c$ は真空中の光速）。
はじめ、この領域の体積は $V_{1}$ 、光子気体の温度は $T_{1}$ であった。その後スケール因子が $2$ 倍になるまで宇宙が膨張した。この間に、領域内の光子気体が外部にした仕事 $W = \int p d V$ を $σ$ , $c$ , $T_{1}$ , $V_{1}$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

初期宇宙の粒子種とエントロピー保存（大学物理宇宙物理・宇宙論）