宇宙物理・宇宙論の問題

一様等方に膨張する宇宙で、宇宙の晴れ上がり（光子と物質の脱結合）以後の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）の光子気体を考える。晴れ上がり以後、光子は物質と相互作用せず、光子気体はつねに温度 $T$ の黒体放射の状態を保つとする。黒体放射のエネルギー密度は $u=\frac{4\sigma }{c}{T}^4$、圧力は $p=\frac{u}{3}$ である（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数、$c$ は光速）。

宇宙の膨張とともに広がる（共動する）領域を 1 つとり、その現在の体積を $V_0$ とする。領域の体積はスケール因子 $a$ の 3 乗に比例して増え、領域内の光子気体は外部と熱のやりとりをせず準静的に（断熱的に）膨張するものとする。晴れ上がりのときの CMB の温度を $T_{\mathrm{d}}$、現在の温度を $T_0$ とする。

晴れ上がりから現在までの間に、この領域内の光子気体が膨張によって外部にした仕事 $W=\int pdV$ を、$\sigma ,c,T_0,T_{\mathrm{d}},V_0$ を用いて表せ。

空間的に平坦で、物質（圧力が無視できる非相対論的な物質）だけを含む宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブル・パラメータを $H=\frac{1}{a}\frac{da}{dt}$ とし、宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
にしたがうとする（$G$ は万有引力定数、$\rho$ は物質の密度）。物質の密度は $\rho \propto a^{-3}$ で変化し、時刻 $t=0$ で $a=0$ とする。現在のスケール因子を $a_0$、現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

スケール因子が現在の $\frac{1}{4}$ であった時刻（赤方偏移 $z=3$ の時刻）$t$ を $H_0$ を用いて表せ。

初期宇宙を模した次のモデルを考える。自然単位系（$\hslash =c=k_B=1$）を用いる。

ある時刻に、光子（内部自由度 $g_{\gamma }=2$）と、フェルミ粒子 $X$ とその反粒子 $\bar{X}$（内部自由度は 2 つ合わせて $g_X=2$）が、温度 $T_1$ の熱平衡にあり、どれも相対論的である。また、別の軽い粒子 $Y$ はこの時刻にはすでにほかの粒子との相互作用を断っており（脱結合しており）、その温度もちょうど $T_1$ である。

その後、宇宙の膨張で温度が下がると、$X$ と $\bar{X}$ はすべて対消滅して光子になり、そのエントロピーはすべて光子に移る。$Y$ はこの過程に関わらず、その温度はスケール因子 $a$ に反比例して下がる（$T_Y\propto a^{-1}$）。

相対論的粒子のエントロピー密度は $s=\frac{2{\pi }^2}{45}{g}_{\text{eff}}{T}^3$（$g_{\text{eff}}$ はボース粒子の内部自由度の和に、フェルミ粒子の内部自由度の和の $\frac{7}{8}$ 倍を加えたもの）で与えられ、光子と $X$, $\bar{X}$ からなる系の共動体積あたりのエントロピー $s{a}^3$ は保存されるとする。

対消滅が終わった後の、$Y$ の温度 $T_Y$ と光子の温度 $T_{\gamma }$ の比 $\frac{T_Y}{T_{\gamma }}$ を求めよ。

ある慣性系 $S$ では、宇宙背景放射が温度 $T_0$ の等方的な黒体放射になっている。この系 $S$ に対して速さ $v=\frac{3}{5}c$（$c$ は真空中の光速）で等速直線運動する観測者を考える。観測者の静止系で、観測者の進行方向と観測者が見る向き（視線の向き）とのなす角を ${\theta }^{\prime }$ とすると、その向きに見える放射も黒体放射であり、その温度は
$$T^{\prime }({\theta }^{\prime })=\frac{T_0\sqrt{1-{\beta }^2}}{1-\beta \cos {\theta }^{\prime }},\beta =\frac{v}{c}$$
で与えられる。観測者が真正面（${\theta }^{\prime }=0$）に見る放射の温度は、真後ろ（${\theta }^{\prime }=\pi$）に見る放射の温度の何倍か。正確な値で求めよ。

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は、温度 $T$ の黒体放射（光子気体）とみなせる。プランク定数を $h$、光速を $c$、ボルツマン定数を $k_B$ とする。単位体積あたり、振動数 $\nu$ から $\nu +d\nu$ の範囲にある放射のエネルギーは $u_{\nu }d\nu$ と書け、$u_{\nu }$ はプランクの公式
$$u_{\nu }=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$
で与えられる。光子気体の圧力は $p=\frac{u}{3}$（$u$ は全エネルギー密度）であり、光子の化学ポテンシャルは $0$ なので、エントロピー密度は $s=\frac{u+p}{T}$ で与えられる。必要なら次の積分の値を用いてよい。
$${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15},{\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{e^x-1}dx=2\zeta (3),\zeta (3)=1.202$$
この黒体放射の光子数密度を $n$ とするとき、光子 1 個あたりのエントロピーを $k_B$ を単位として表した量 $\frac{s}{n{k}_B}$ を、有効数字 3 桁で求めよ。