宇宙物理・宇宙論の問題

空間的に平坦（曲率 $k=0$）で宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、物質の密度を $\rho$、万有引力定数を $G$ とすると、フリードマン方程式は
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
で与えられ、物質の密度は $\rho \propto a^{-3}$ にしたがって変化する。現在のスケール因子を $a_0$、現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

スケール因子が $a=\frac{a_0}{4}$ であった時刻における、宇宙の臨界密度 ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H^2}{8\pi G}$ を、$H_0$ と $G$ を用いて表せ。

空間的に平坦（曲率 $k=0$）で宇宙項がなく、放射（光子などの相対論的粒子）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、放射のエネルギー密度を $c^2$ で割った質量密度を $\rho$、万有引力定数を $G$ とする。この宇宙ではフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
が成り立ち、宇宙膨張にともなって $\rho \propto a^{-4}$ と変化する。時刻 $t$ はスケール因子が $a=0$ となる時刻を $t=0$ として測り、$t>0$ で $\dot{a}>0$ とする。密度が $\rho ={\rho }_1$（${\rho }_1>0$）となる時刻 $t_1$ を、$G$ と ${\rho }_1$ を用いて表せ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質だけを含む一様等方な宇宙を考える。空間の曲率は負（$k=-1$）であり、長さの次元をもつスケール因子 $a(t)$ は、各時刻における空間の曲率半径に等しくなるように選ぶ。このとき宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2},H=\frac{\dot{a}}{a}$$
に従う。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度である。

現在のハッブル定数を $H_0$ とし、現在の物質の密度は、ハッブル定数 $H_0$ に対する臨界密度（$k=0$ となる密度）のちょうど $\frac{3}{4}$ 倍であるとする。現在の空間の曲率半径 $a_0$ を $c$, $H_0$ を用いて表せ。

空間的に平坦な一様等方宇宙が、圧力の無視できる物質（ダスト）と宇宙項 $\Lambda$（$\Lambda >0$）だけを含むとする。スケール因子を $a(t)$（現在 $a=1$）、万有引力定数を $G$、光速を $c$、物質の質量密度を ${\rho }_m$ とし、物質の質量は保存されるので ${\rho }_m\propto a^{-3}$ である。スケール因子は加速方程式
$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}{\rho }_m+\frac{\Lambda c^2}{3}$$
に従う。現在のハッブルパラメータを $H_0$、臨界密度を ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の物質の密度パラメータを ${\Omega }_m=\frac{{\rho }_{m,0}}{{\rho }_{\mathrm{c}}}=\frac{1}{4}$、宇宙項の密度パラメータを ${\Omega }_{\Lambda }=\frac{\Lambda c^2}{3H_0^2}=\frac{3}{4}$ とする（${\rho }_{m,0}$ は現在の物質の密度）。宇宙の膨張が減速から加速に転じた時刻（$\ddot{a}=0$ となる時刻）に放出され、現在観測される光の赤方偏移 $z$ を、根号を用いた正確な値で求めよ。ただし $1+z=\frac{1}{a}$ である。

一様等方に膨張する宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$ とし、現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$、宇宙の始まり $t=0$ で $a(0)=0$ とする。ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、現在のハッブル定数を $H_0(>0)$ とする。この宇宙はフリードマン方程式
$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}$$
に従う。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度、$k$ は曲率の定数、$\Lambda (>0)$ は宇宙定数である。

宇宙に含まれる物質は圧力の無視できる非相対論的物質だけであり（放射は無視する）、その密度は $\rho \propto a^{-3}$ に従って変化する。空間は平坦（$k=0$）であり、現在の物質の密度は、臨界密度 ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ のちょうど $\frac{1}{4}$ である。

この宇宙の年齢 $t_0$ とハッブル定数の積 $H_0{t}_0$ を、根号と自然対数を用いた正確な値で求めよ。