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宇宙物理・宇宙論の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理宇宙物理・宇宙論

一様等方に膨張する宇宙で、宇宙の晴れ上がり（光子と物質の脱結合）以後の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）の光子気体を考える。晴れ上がり以後、光子は物質と相互作用せず、光子気体はつねに温度 $T$ の黒体放射の状態を保つとする。黒体放射のエネルギー密度は $u = \frac{4 σ}{c} T^{4}$ 、圧力は $p = \frac{u}{3}$ である（ $σ$ はシュテファン・ボルツマン定数、 $c$ は光速）。

宇宙の膨張とともに広がる（共動する）領域を 1 つとり、その現在の体積を $V_{0}$ とする。領域の体積はスケール因子 $a$ の 3 乗に比例して増え、領域内の光子気体は外部と熱のやりとりをせず準静的に（断熱的に）膨張するものとする。晴れ上がりのときの CMB の温度を $T_{d}$ 、現在の温度を $T_{0}$ とする。

晴れ上がりから現在までの間に、この領域内の光子気体が膨張によって外部にした仕事 $W = \int p d V$ を、 $σ, c, T_{0}, T_{d}, V_{0}$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

膨張する宇宙の光子気体（説明と入口の問題）
一般の準静的過程の仕事と熱（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（139 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

熱のやりとりがないので、熱力学第一法則 $d U = - p d V$ が使えます。まず断熱膨張で $T$ と $V$ がどんな関係を保つかを調べましょう。

ヒント 2

$U = \frac{4 σ}{c} T^{4} V$ 、 $p = \frac{4 σ}{3 c} T^{4}$ を第一法則に代入すると、 $T^{3} V$ が一定に保たれることがわかります。

ヒント 3

$T^{3} V = T_{0}^{3} V_{0}$ を使うと $U = \frac{4 σ}{c} T_{0}^{3} V_{0} T$ と書けます。断熱過程では $W = - Δ U = U_{d} - U_{0}$ です。

答えと解説

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\frac{4 σ T _{0}^{3} V _{0} ( T _{d} - T _{0} )}{c}

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解説を読む

1. 断熱条件から温度と体積の関係を求める

領域内の光子気体の内部エネルギーは
$U = u V = \frac{4 σ}{c} T^{4} V$
である。外部と熱のやりとりがないので、熱力学第一法則は $d U = - p d V$ となる。左辺を計算すると
$d U = \frac{4 σ}{c} (4 T^{3} V d T + T^{4} d V),$
右辺は $p = \frac{4 σ}{3 c} T^{4}$ より $- \frac{4 σ}{3 c} T^{4} d V$ である。両辺を $\frac{4 σ}{c} T^{3}$ で割ると
$4 V d T + T d V = - \frac{1}{3} T d V ⟹ 4 V d T + \frac{4}{3} T d V = 0 ⟹ \frac{d T}{T} + \frac{1}{3} \frac{d V}{V} = 0.$
積分すると $lo g T + \frac{1}{3} lo g V = const$ 、すなわち
$T^{3} V = const$
である。 $V \propto a^{3}$ なので $T \propto \frac{1}{a}$ となり、CMB の温度がスケール因子に反比例して下がることがわかる。現在の値を使えば $T^{3} V = T_{0}^{3} V_{0}$ である。

2. 仕事を計算する

方法 A（第一法則を使う）: 断熱過程では $W = \int p d V = - Δ U = U_{d} - U_{0}$ である。 $T^{3} V = T_{0}^{3} V_{0}$ を使うと
$U = \frac{4 σ}{c} T \cdot T^{3} V = \frac{4 σ}{c} T_{0}^{3} V_{0} T$
となり、内部エネルギーは温度 $T$ に比例する。よって
$W = \frac{4 σ}{c} T_{0}^{3} V_{0} T_{d} - \frac{4 σ}{c} T_{0}^{3} V_{0} T_{0} = \frac{4 σ T _{0}^{3} V _{0} ( T _{d} - T _{0} )}{c} .$

方法 B（直接積分する）: $V = V_{0} (\frac{T _{0}}{T})^{3}$ より $d V = - 3 V_{0} T_{0}^{3} T^{- 4} d T$ 。したがって
$p d V = \frac{4 σ}{3 c} T^{4} \cdot (- 3 V_{0} T_{0}^{3} T^{- 4}) d T = - \frac{4 σ}{c} V_{0} T_{0}^{3} d T .$
温度は $T_{d}$ から $T_{0}$ まで変わるので
$W = \int_{T_{d}}^{T_{0}} (- \frac{4 σ}{c} V_{0} T_{0}^{3}) d T = \frac{4 σ T _{0}^{3} V _{0} ( T _{d} - T _{0} )}{c}$
となり、方法 A と一致する。

$T_{d} > T_{0}$ なので $W > 0$ であり、光子気体は膨張により外部に正の仕事をして、その分だけ内部エネルギーを失う（宇宙論的赤方偏移による光子のエネルギー減少に対応する）。

答え: $W = \frac{4 σ T _{0}^{3} V _{0} ( T _{d} - T _{0} )}{c}$

別解

黒体放射のエネルギー密度は $u = \frac{4 σ}{c} T^{4}$ 、圧力は $p = \frac{u}{3} = \frac{4 σ}{3 c} T^{4}$ 。

断熱準静的膨張では、領域内の全エネルギー $U = u V$ について $d U = - p d V$ が成り立つ。 $U = \frac{4 σ}{c} T^{4} V$ より
$\frac{4 σ}{c} (4 T^{3} V d T + T^{4} d V) = - \frac{4 σ}{3 c} T^{4} d V$
整理して $4 V d T = - \frac{4}{3} T d V$ 、すなわち $\frac{d T}{T} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V}$ 。よって $T^{3} V = 一定$ （ $T \propto 1/ a$ と整合）。

現在の体積が $V_{0}$ 、温度が $T_{0}$ なので $V = V_{0} \frac{T _{0}^{3}}{T ^{3}}$ 。したがって $d V = - 3 V_{0} T_{0}^{3} T^{- 4} d T$ 。

仕事は
$W = \int p d V = \int_{T_{d}}^{T_{0}} \frac{4 σ}{3 c} T^{4} \cdot (- 3 V_{0} T_{0}^{3} T^{- 4}) d T = - \frac{4 σ V _{0} T _{0}^{3}}{c} \int_{T_{d}}^{T_{0}} d T = \frac{4 σ V _{0} T _{0}^{3}}{c} (T_{d} - T_{0})$

検算: 断熱なので $W = U_{d} - U_{0}$ 。晴れ上がり時の体積は $V_{d} = V_{0} (T_{0} / T_{d})^{3}$ なので $U_{d} = \frac{4 σ}{c} T_{d}^{4} V_{0} \frac{T _{0}^{3}}{T _{d}^{3}} = \frac{4 σ}{c} V_{0} T_{0}^{3} T_{d}$ 、 $U_{0} = \frac{4 σ}{c} V_{0} T_{0}^{4}$ 。差は $\frac{4 σ V _{0} T _{0}^{3}}{c} (T_{d} - T_{0})$ で一致する。 $T_{d} > T_{0}$ なので $W > 0$ （光子気体が外部に仕事をした）。

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