宇宙物理・宇宙論の問題

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は温度 $T$ の黒体放射であり、振動数が $\nu$ と $\nu +d\nu$ の間にある光子のエネルギー密度は、プランクの法則により
$$u_{\nu }d\nu =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}d\nu$$
で与えられるとする。ここで $h$ はプランク定数、$c$ は光速、$k_B$ はボルツマン定数である。必要なら積分 ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。

電波望遠鏡で観測する、振動数が $0<\nu <{\nu }_1$ の低振動数の帯域を考える。${\nu }_1$ は $h{\nu }_1\ll k_{B}T$ を満たす正の定数である。CMB の全エネルギー密度のうち、振動数 $\nu <{\nu }_1$ の光子が担う割合 $f$ を、$h{\nu }_1/(k_{B}T)$ について最低次の項まで求め、$h$, ${\nu }_1$, $k_B$, $T$ を用いて表せ。

一様等方に膨張する宇宙で、宇宙の晴れ上がり（光子と物質の脱結合）以後の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）の光子気体を考える。晴れ上がり以後、光子は物質と相互作用せず、光子気体はつねに温度 $T$ の黒体放射の状態を保つとする。黒体放射のエネルギー密度は $u=\frac{4\sigma }{c}{T}^4$、圧力は $p=\frac{u}{3}$ である（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数、$c$ は光速）。

宇宙の膨張とともに広がる（共動する）領域を 1 つとり、その現在の体積を $V_0$ とする。領域の体積はスケール因子 $a$ の 3 乗に比例して増え、領域内の光子気体は外部と熱のやりとりをせず準静的に（断熱的に）膨張するものとする。晴れ上がりのときの CMB の温度を $T_{\mathrm{d}}$、現在の温度を $T_0$ とする。

晴れ上がりから現在までの間に、この領域内の光子気体が膨張によって外部にした仕事 $W=\int pdV$ を、$\sigma ,c,T_0,T_{\mathrm{d}},V_0$ を用いて表せ。

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）が等方的に見える座標系（CMB 静止系）では、CMB は温度 $T_0$ の等方的な黒体放射であり、そのエネルギー密度は $u_0=a{T}_0^4$（$a$ は放射定数）である。この系に対して一定の速さ $v=\beta c$（$0<\beta <1$、$c$ は光速）で等速直線運動する観測者を考える。観測者の静止系で測った CMB の（全振動数・全方向について積分した）エネルギー密度を $u^{\prime }$ とするとき、比 $u^{\prime }/u_0$ を $\beta$ で表せ。

ただし、放射の比強度 $I_{\nu }$ と振動数 $\nu$ について $I_{\nu }/{\nu }^3$ はローレンツ変換で不変であることを用いてよい。宇宙膨張の効果や重力の効果は考えず、特殊相対論の範囲で扱うものとする。

一様等方に膨張する初期宇宙を考える。$k_B=\hslash =c=1$ の単位系を用いる。温度 $T$ の熱平衡にある質量の無視できる（相対論的な）粒子種のエネルギー密度 $\rho$ とエントロピー密度 $s$ は、内部自由度を $g$ として
$$\rho =\frac{{\pi }^2}{30}{g}_{\mathrm{eff}}{T}^4,s=\frac{2{\pi }^2}{45}{g}_{\mathrm{eff}}{T}^3$$
で与えられる。ここで、ボース粒子では $g_{\mathrm{eff}}=g$、フェルミ粒子では $g_{\mathrm{eff}}=\frac{7}{8}g$ である（化学ポテンシャルは $0$ とする）。

ある仮想的な宇宙では、ニュートリノが他の粒子と相互作用しなくなった（脱結合した）時点で、次の粒子が同じ温度 $T$ の熱平衡にあり、すべて相対論的であった。
- 光子（$g=2$）
- 電子と陽電子（あわせて $g=4$ のフェルミ粒子）
- 中性の実スカラー粒子 $\varphi$（自身が反粒子、$g=1$ のボース粒子）
- 3 世代のニュートリノと反ニュートリノ（1 世代あたり、ニュートリノと反ニュートリノがそれぞれ $1$ つのヘリシティ状態をもち、あわせて $g=2$ のフェルミ粒子）

脱結合の後、宇宙の温度が下がると、電子・陽電子と $\varphi$ は光子との熱平衡を保ったまま非相対論的になって消滅し、それらのエントロピーはすべて光子に移った。この過程で光子・電子・陽電子・$\varphi$ からなる系の共動体積あたりのエントロピーは保存するとする。一方、脱結合したニュートリノは質量が無視でき、その温度はスケール因子に反比例して下がり続ける。

電子・陽電子と $\varphi$ が十分に消滅した後の時刻における、3 世代分のニュートリノと反ニュートリノのエネルギー密度の和 ${\rho }_{\nu }$ と、光子（黒体放射）のエネルギー密度 ${\rho }_{\gamma }$ の比 $\frac{{\rho }_{\nu }}{{\rho }_{\gamma }}$ を、正確な形で求めよ。

一様等方に膨張する宇宙を考える。現在の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は温度 $T_0$ の黒体放射であり、現在の物質（圧力の無視できる非相対論的物質）の質量密度を ${\rho }_0$ とする。光速を $c$、シュテファン・ボルツマン定数を $\sigma$ とし、温度 $T$ の黒体放射のエネルギー密度は $u=\frac{4\sigma }{c}{T}^4$ で与えられるものとする。

宇宙の膨張にともない、スケール因子を $a$ とすると、物質の質量密度は $a^{-3}$ に比例して変化し、CMB は黒体放射のスペクトルを保ったまま、その温度が $a^{-1}$ に比例して下がるとする。放射成分としては CMB の光子のみを考え（ニュートリノなどは無視する）、物質と放射の間のエネルギーのやりとりはないものとする。

物質のエネルギー密度 $\rho c^2$ と CMB のエネルギー密度 $u$ が等しかった時刻（物質・放射等密度時）における CMB の温度 $T_{\mathrm{eq}}$ を、${\rho }_0,c,\sigma ,T_0$ を用いて表せ。