宇宙物理・宇宙論の問題

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は、温度 $T$ の黒体放射（光子気体）とみなせる。プランク定数を $h$、光速を $c$、ボルツマン定数を $k_B$ とする。単位体積あたり、振動数 $\nu$ から $\nu +d\nu$ の範囲にある放射のエネルギーは $u_{\nu }d\nu$ と書け、$u_{\nu }$ はプランクの公式
$$u_{\nu }=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$
で与えられる。光子気体の圧力は $p=\frac{u}{3}$（$u$ は全エネルギー密度）であり、光子の化学ポテンシャルは $0$ なので、エントロピー密度は $s=\frac{u+p}{T}$ で与えられる。必要なら次の積分の値を用いてよい。
$${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15},{\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{e^x-1}dx=2\zeta (3),\zeta (3)=1.202$$
この黒体放射の光子数密度を $n$ とするとき、光子 1 個あたりのエントロピーを $k_B$ を単位として表した量 $\frac{s}{n{k}_B}$ を、有効数字 3 桁で求めよ。

一様等方に膨張する宇宙で、宇宙の晴れ上がり以後の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）を考える。晴れ上がり以後、CMB の光子は物質と相互作用せずに自由に伝わり、各光子の振動数は宇宙膨張によってスケール因子に反比例して変化するものとする。現在（赤方偏移 $z=0$）の CMB は温度 $T_0$ の黒体放射である。

温度 $T$ の黒体放射の、単位体積・単位振動数あたりのエネルギー密度は
$$u_{\nu }(T)=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{\mathrm{B}}T}-1}$$
である（$h$ はプランク定数、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数、$c$ は光速）。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。

赤方偏移 $z$（$z\ge 0$）にある、宇宙膨張とともに動くガス雲を考える。このガス雲の静止系で測ったとき、その時刻の CMB の全エネルギー密度のうち、振動数が ${\nu }_c$ 未満の光子が担う割合を $F$ とする。$x_0=\frac{h{\nu }_c}{k_{\mathrm{B}}{T}_0}$ とおき、$\frac{x_0}{1+z}\ll 1$ であるとして、$F$ を $\frac{x_0}{1+z}$ のべきで展開したときの、最も低い次数の項とその次の項の和を、$x_0$, $z$ を用いて表せ。

温度 $T$ の黒体放射（宇宙マイクロ波背景放射など）を考える。プランク定数を $h$、ボルツマン定数を $k_B$ とし、$x=\frac{h\nu }{k_{B}T}$ と置くと、振動数あたりのエネルギー密度は
$$u_{\nu }d\nu \propto \frac{x^3}{e^x-1}dx$$
と表される。また ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ である。

振動数 $0$ から ${\nu }_1$ までの低振動数の帯域を考え、$x_1=\frac{h{\nu }_1}{k_{B}T}=\frac{1}{10}$ とする。この帯域の放射が担うエネルギーが、放射の全エネルギーに占める割合 $f$ を、$x\ll 1$ で $\frac{1}{e^x-1}\approx \frac{1}{x}$ と近似した最低次の近似で求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な形で書け。

一様等方に膨張する宇宙を考える。現在の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は温度 $T_0$ の黒体放射であり、現在の物質（圧力の無視できる非相対論的物質）の質量密度を ${\rho }_0$ とする。光速を $c$、シュテファン・ボルツマン定数を $\sigma$ とし、温度 $T$ の黒体放射のエネルギー密度は $u=\frac{4\sigma }{c}{T}^4$ で与えられるものとする。

宇宙の膨張にともない、スケール因子を $a$ とすると、物質の質量密度は $a^{-3}$ に比例して変化し、CMB は黒体放射のスペクトルを保ったまま、その温度が $a^{-1}$ に比例して下がるとする。放射成分としては CMB の光子のみを考え（ニュートリノなどは無視する）、物質と放射の間のエネルギーのやりとりはないものとする。

物質のエネルギー密度 $\rho c^2$ と CMB のエネルギー密度 $u$ が等しかった時刻（物質・放射等密度時）における CMB の温度 $T_{\mathrm{eq}}$ を、${\rho }_0,c,\sigma ,T_0$ を用いて表せ。

一様等方に膨張する宇宙で、宇宙の晴れ上がり（光子と物質の脱結合）以後の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）の光子気体を考える。晴れ上がり以後、光子は物質と相互作用せず、光子気体はつねに温度 $T$ の黒体放射の状態を保つとする。黒体放射のエネルギー密度は $u=\frac{4\sigma }{c}{T}^4$、圧力は $p=\frac{u}{3}$ である（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数、$c$ は光速）。

宇宙の膨張とともに広がる（共動する）領域を 1 つとり、その現在の体積を $V_0$ とする。領域の体積はスケール因子 $a$ の 3 乗に比例して増え、領域内の光子気体は外部と熱のやりとりをせず準静的に（断熱的に）膨張するものとする。晴れ上がりのときの CMB の温度を $T_{\mathrm{d}}$、現在の温度を $T_0$ とする。

晴れ上がりから現在までの間に、この領域内の光子気体が膨張によって外部にした仕事 $W=\int pdV$ を、$\sigma ,c,T_0,T_{\mathrm{d}},V_0$ を用いて表せ。