宇宙物理・宇宙論の問題

一様等方に膨張する宇宙で、宇宙の晴れ上がり（光子と物質の脱結合）以後の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）の光子気体を考える。晴れ上がり以後、光子は物質と相互作用せず、光子気体はつねに温度 $T$ の黒体放射の状態を保つとする。黒体放射のエネルギー密度は $u=\frac{4\sigma }{c}{T}^4$、圧力は $p=\frac{u}{3}$ である（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数、$c$ は光速）。

宇宙の膨張とともに広がる（共動する）領域を 1 つとり、その現在の体積を $V_0$ とする。領域の体積はスケール因子 $a$ の 3 乗に比例して増え、領域内の光子気体は外部と熱のやりとりをせず準静的に（断熱的に）膨張するものとする。晴れ上がりのときの CMB の温度を $T_{\mathrm{d}}$、現在の温度を $T_0$ とする。

晴れ上がりから現在までの間に、この領域内の光子気体が膨張によって外部にした仕事 $W=\int pdV$ を、$\sigma ,c,T_0,T_{\mathrm{d}},V_0$ を用いて表せ。

一様等方に膨張する宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$ とし、現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$、宇宙の始まり $t=0$ で $a(0)=0$ とする。ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、現在のハッブル定数を $H_0(>0)$ とする。この宇宙はフリードマン方程式
$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}$$
に従う。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度、$k$ は曲率の定数、$\Lambda (>0)$ は宇宙定数である。

宇宙に含まれる物質は圧力の無視できる非相対論的物質だけであり（放射は無視する）、その密度は $\rho \propto a^{-3}$ に従って変化する。空間は平坦（$k=0$）であり、現在の物質の密度は、臨界密度 ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ のちょうど $\frac{1}{4}$ である。

この宇宙の年齢 $t_0$ とハッブル定数の積 $H_0{t}_0$ を、根号と自然対数を用いた正確な値で求めよ。

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は温度 $T$ の黒体放射であり、振動数が $\nu$ と $\nu +d\nu$ の間にある光子のエネルギー密度は、プランクの法則により
$$u_{\nu }d\nu =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}d\nu$$
で与えられるとする。ここで $h$ はプランク定数、$c$ は光速、$k_B$ はボルツマン定数である。必要なら積分 ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。

電波望遠鏡で観測する、振動数が $0<\nu <{\nu }_1$ の低振動数の帯域を考える。${\nu }_1$ は $h{\nu }_1\ll k_{B}T$ を満たす正の定数である。CMB の全エネルギー密度のうち、振動数 $\nu <{\nu }_1$ の光子が担う割合 $f$ を、$h{\nu }_1/(k_{B}T)$ について最低次の項まで求め、$h$, ${\nu }_1$, $k_B$, $T$ を用いて表せ。

一様等方に膨張する宇宙で、宇宙の晴れ上がり以後の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）を考える。晴れ上がり以後、CMB の光子は物質と相互作用せずに自由に伝わり、各光子の振動数は宇宙膨張によってスケール因子に反比例して変化するものとする。現在（赤方偏移 $z=0$）の CMB は温度 $T_0$ の黒体放射である。

温度 $T$ の黒体放射の、単位体積・単位振動数あたりのエネルギー密度は
$$u_{\nu }(T)=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{\mathrm{B}}T}-1}$$
である（$h$ はプランク定数、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数、$c$ は光速）。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。

赤方偏移 $z$（$z\ge 0$）にある、宇宙膨張とともに動くガス雲を考える。このガス雲の静止系で測ったとき、その時刻の CMB の全エネルギー密度のうち、振動数が ${\nu }_c$ 未満の光子が担う割合を $F$ とする。$x_0=\frac{h{\nu }_c}{k_{\mathrm{B}}{T}_0}$ とおき、$\frac{x_0}{1+z}\ll 1$ であるとして、$F$ を $\frac{x_0}{1+z}$ のべきで展開したときの、最も低い次数の項とその次の項の和を、$x_0$, $z$ を用いて表せ。

空間的に平坦（曲率 $k=0$）で宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、物質の密度を $\rho$、万有引力定数を $G$ とすると、フリードマン方程式は
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
で与えられ、物質の密度は $\rho \propto a^{-3}$ にしたがって変化する。現在のスケール因子を $a_0$、現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

スケール因子が $a=\frac{a_0}{4}$ であった時刻における、宇宙の臨界密度 ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H^2}{8\pi G}$ を、$H_0$ と $G$ を用いて表せ。