プランク分布の帯域ごとのエネルギーの割合

$x = \frac{h ν}{k _{B} T}$ と置いたプランク分布 $u_{ν} \propto \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1}$ で、低振動数側（ $x ≪ 1$ ）では $\frac{1}{e ^{x} - 1} \approx \frac{1}{x}$ と展開して $\int_{0}^{x_{1}} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x \approx \frac{x _{1}^{3}}{3}$ を求め、全体 $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x = \frac{π ^{4}}{15}$ との比から、指定した帯域が担うエネルギーの割合（例: $f \approx \frac{5 x _{1}^{3}}{π ^{4}}$ ）を最低次で求められる

前提

光子気体の分配関数と自由エネルギー（大学物理統計力学）

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算数中学高校大学大学院

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広義積分（大学数学微分積分）
光子気体の分配関数と自由エネルギー（大学物理統計力学）

説明

黒体放射（空洞中の光子気体）の全エネルギーのうち、ある振動数より低い帯域がどれだけの割合を担っているかを求める技能です。振動数を無次元の量 $x = \frac{h ν}{k _{B} T}$ で表すと、帯域の割合は $\frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1}$ の積分どうしの比になります。帯域の上端が $x_{1} ≪ 1$ （電波のような低振動数側）なら、被積分関数を展開して最低次で $f \approx \frac{5 x _{1}^{3}}{π ^{4}}$ と簡単に見積もれます。CMB のうち電波帯に入るエネルギーの割合を見積もるときなどに使います。

なぜそうしてよいのか

前提の技能では、空洞の基準振動の 1 つ 1 つを化学ポテンシャル $0$ の量子調和振動子とみなしました。振動数 $ν$ の振動子 1 個の平均エネルギー（零点エネルギーを除く）は $\frac{h ν}{e ^{h ν / k_{B} T} - 1}$ です。また、体積 $V$ の空洞で振動数が $ν$ と $ν + d ν$ の間にある基準振動の数は、偏光 2 つと $ω = c ∣ k ∣$ から $V \frac{8 π ν ^{2}}{c ^{3}} d ν$ です。両者を掛けて体積で割ると、単位体積・単位振動数あたりのエネルギー（プランク分布）
$u_{ν} d ν = \frac{8 π h ν ^{3}}{c ^{3}} \frac{1}{e ^{h ν / k_{B} T} - 1} d ν = \frac{8 π ( k _{B} T ) ^{4}}{h ^{3} c ^{3}} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x$
が得られます。前の係数は $x$ によらないので、ある帯域が担うエネルギーの割合は、係数が約分されて
$f = \frac{\int _{帯域} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x}{\int _{0}^{\infty} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x}$
となります。分母は $\frac{π ^{4}}{15}$ です（これは前提の技能で求めた内部エネルギー $U = \frac{π ^{2} k _{B}^{4}}{15 ℏ ^{3} c ^{3}} V T^{4}$ と、 $h = 2 π ℏ$ を使って係数を比べると確かめられます）。

分子の積分は一般には初等関数で書けませんが、 $x$ が小さいところでは $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \dots$ なので $e^{x} - 1 = x (1 + \frac{x}{2} + \dots)$ 、したがって $\frac{1}{e ^{x} - 1} = \frac{1}{x} (1 - \frac{x}{2} + \dots)$ です。最低次では $\frac{1}{e ^{x} - 1} \approx \frac{1}{x}$ で、これは振動子 1 個の平均エネルギーが古典的な等分配の値 $k_{B} T$ に近づくことを表しています。すると被積分関数は $\frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} \approx x^{2}$ となり、 $\int_{0}^{x_{1}} x^{2} d x = \frac{x _{1}^{3}}{3}$ です。よって $f \approx \frac{x _{1}^{3} /3}{π ^{4} /15} = \frac{5 x _{1}^{3}}{π ^{4}}$ が得られます。次の項は $- \frac{x ^{3}}{2}$ の積分 $- \frac{x _{1}^{4}}{8}$ なので、相対的な誤差はおよそ $\frac{3 x _{1}}{8}$ で、 $x_{1} ≪ 1$ のときに限ってこの近似が使えます。

手順

帯域の端の振動数を無次元化する： $x_{1} = \frac{h ν _{1}}{k _{B} T}$ を計算し、 $x_{1} ≪ 1$ （低振動数側）であることを確かめる
求める割合を積分の比で書く： $f = \frac{\int _{0}^{x_{1}} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x}{\int _{0}^{\infty} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x}$ （分母 $= \frac{π ^{4}}{15}$ ）
分子の被積分関数を最低次で近似する： $\frac{1}{e ^{x} - 1} \approx \frac{1}{x}$ より $\frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} \approx x^{2}$
分子を積分する： $\int_{0}^{x_{1}} x^{2} d x = \frac{x _{1}^{3}}{3}$
比をとって割合を求める： $f \approx \frac{x _{1}^{3} /3}{π ^{4} /15} = \frac{5 x _{1}^{3}}{π ^{4}}$ （必要なら $x_{1}$ をもとの文字に戻す）

例題

温度 $T$ の黒体放射（空洞中の光子気体）で、振動数が $0$ から $ν_{1}$ までの帯域が担うエネルギーが全エネルギーに占める割合 $f$ を求めよ。ただし、プランク定数を $h$ 、ボルツマン定数を $k_{B}$ とし、 $\frac{h ν _{1}}{k _{B} T} ≪ 1$ として最低次で、 $h, ν_{1}, k_{B}, T$ を用いた式で答えよ。必要なら $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x = \frac{π ^{4}}{15}$ を用いてよい。

例題の解答

手順 1： $x = \frac{h ν}{k _{B} T}$ と置くと、帯域の上端は $x_{1} = \frac{h ν _{1}}{k _{B} T}$ で、仮定から $x_{1} ≪ 1$ である。

手順 2：プランク分布は $u_{ν} d ν \propto \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x$ なので、比例係数が約分されて
$f = \frac{\int _{0}^{x_{1}} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x}{π ^{4} /15} .$

手順 3：積分区間では $x \leq x_{1} ≪ 1$ なので $\frac{1}{e ^{x} - 1} \approx \frac{1}{x}$ 、よって $\frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} \approx x^{2}$ 。

手順 4： $\int_{0}^{x_{1}} x^{2} d x = \frac{x _{1}^{3}}{3}$ 。

手順 5： $f \approx \frac{x _{1}^{3} /3}{π ^{4} /15} = \frac{5 x _{1}^{3}}{π ^{4}} = \frac{5 h ^{3} ν _{1}^{3}}{π ^{4} k _{B}^{3} T ^{3}}$ 。

答え: $\frac{5 h ^{3} ν _{1}^{3}}{π ^{4} k _{B}^{3} T ^{3}}$

よくある誤り

$e^{x} - 1 \approx 1$ として被積分関数を $x^{3}$ にし、分子を $\frac{x _{1}^{4}}{4}$ としてしまう誤り。 $x ≪ 1$ では $e^{x} - 1$ 自体が小さく $e^{x} - 1 \approx x$ なので、正しくは $\frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} \approx x^{2}$ 、分子は $\frac{x _{1}^{3}}{3}$ 。
$\frac{1}{e ^{x} - 1} \approx e^{- x}$ と近似してしまう誤り。これは $x ≫ 1$ （高振動数側）でだけ使える近似で、低振動数側 $x_{1} ≪ 1$ では正しくは $\frac{1}{e ^{x} - 1} \approx \frac{1}{x}$ 。
分母（全体）の積分を忘れて、割合を $\frac{x _{1}^{3}}{3}$ のままにしてしまう誤り。割合は全体 $\frac{π ^{4}}{15}$ で割って $f \approx \frac{x _{1}^{3}}{3} \cdot \frac{15}{π ^{4}} = \frac{5 x _{1}^{3}}{π ^{4}}$ とする。
$x_{1}$ が 1 程度以上のときにも $f \approx \frac{5 x _{1}^{3}}{π ^{4}}$ を使ってしまう誤り。次の項まで入れると分子は $\frac{x _{1}^{3}}{3} - \frac{x _{1}^{4}}{8} + \dots$ で、相対誤差はおよそ $\frac{3 x _{1}}{8}$ なので、この式は $x_{1} ≪ 1$ のときだけ使える（たとえば $x_{1} = 4$ を入れると $f > 1$ となり明らかにおかしい）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
温度 $T$ の黒体放射（宇宙マイクロ波背景放射など）を考える。プランク定数を $h$ 、ボルツマン定数を $k_{B}$ とし、 $x = \frac{h ν}{k _{B} T}$ と置くと、振動数あたりのエネルギー密度は
$u_{ν} d ν \propto \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x$
と表される。また $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x = \frac{π ^{4}}{15}$ である。
振動数 $0$ から $ν_{1}$ までの低振動数の帯域を考え、 $x_{1} = \frac{h ν _{1}}{k _{B} T} = \frac{1}{10}$ とする。この帯域の放射が担うエネルギーが、放射の全エネルギーに占める割合 $f$ を、 $x ≪ 1$ で $\frac{1}{e ^{x} - 1} \approx \frac{1}{x}$ と近似した最低次の近似で求めよ。答えは $π$ を含む正確な形で書け。

プランク分布の帯域ごとのエネルギーの割合

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題