共動距離・光度距離・角径距離

共動距離 $χ (z) = \int_{0}^{z} \frac{c d z ^{'}}{H ( z ^{'} )}$ を計算し、 $d_{L} = (1 + z) χ$ 、 $d_{A} = χ / (1 + z)$ （平坦な場合）から光度距離・角径距離を求め、 $d_{A}$ が最大になる赤方偏移などを決められる

前提

密度パラメータと多成分の宇宙（大学物理宇宙物理・宇宙論）
区間での最大・最小（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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区間での最大・最小（数学II 微分法と積分法）

説明

膨張する宇宙では「距離」の測り方がいくつもあり、遠い天体ほどそれらの違いが大きくなります。この技能では、赤方偏移 $z$ の天体までの共動距離 $χ (z) = \int_{0}^{z} \frac{c d z ^{'}}{H ( z ^{'} )}$ をハッブルパラメータから計算し、明るさから決まる光度距離 $d_{L}$ と、見かけの大きさから決まる角径距離 $d_{A}$ を求めます。超新星を標準光源とした宇宙膨張の測定や、遠方の銀河・CMB のゆらぎの角度の大きさを解釈するときに使い、特に $d_{A}$ がある赤方偏移で最大になる（それより遠い天体はかえって大きく見える）ことも示せます。

なぜそうしてよいのか

以下、空間が平坦な宇宙を考え、今日のスケール因子を $a_{0} = 1$ 、 $a = \frac{1}{1 + z}$ とします。共動座標で見ると平坦な宇宙は普通のユークリッド空間で、光は動径方向にまっすぐ進み、物理的な速さ $c$ は共動座標では $c / a$ に見えるので $c d t = a d χ$ です。したがって天体から私たちまでの共動距離は $χ = \int \frac{c d t}{a}$ 。ここで $d t = \frac{d a}{a ˙} = \frac{d a}{a H}$ 、 $d z = - \frac{d a}{a ^{2}}$ を使うと $\frac{c d t}{a} = \frac{c d a}{a ^{2} H} = - \frac{c d z}{H}$ となり、放出時（赤方偏移 $z$ ）から今日（ $z = 0$ ）まで積分して $χ (z) = \int_{0}^{z} \frac{c d z ^{'}}{H ( z ^{'} )}, H (z) = H_{0} Ω_{r} (1 + z)^{4} + Ω_{m} (1 + z)^{3} + Ω_{Λ}$ を得ます（平坦なので $Ω_{r} + Ω_{m} + Ω_{Λ} = 1$ ）。

光度距離は、絶対的な明るさ（光度） $L$ と観測される単位面積あたりのエネルギー流束 $F$ から $F = \frac{L}{4 π d _{L}^{2}}$ で定義します。今日、光は半径 $χ$ （共動距離＝今日の固有距離）の球面に広がるので面積は $4 π χ^{2}$ です。さらに、各光子のエネルギーは波長の伸びで $\frac{1}{1 + z}$ 倍になり、光子が届く時間間隔も $1 + z$ 倍に引き伸ばされるので、流束はもう一度 $\frac{1}{1 + z}$ 倍になります。よって $F = \frac{L}{4 π χ ^{2} ( 1 + z ) ^{2}}$ 、すなわち $d_{L} = (1 + z) χ$ です。

角径距離は、実際の大きさ $D$ の天体が角度 $θ$ に見えるとき $d_{A} = \frac{D}{θ}$ で定義します。天体の両端から出た光は、共動座標では私たちから角度 $θ$ をなして直進するので、両端の共動的な間隔は $χ θ$ 、光が出た時点での物理的な間隔はそれに $a = \frac{1}{1 + z}$ を掛けた $D = \frac{χ θ}{1 + z}$ です。したがって $d_{A} = \frac{χ}{1 + z}$ で、 $d_{L} = (1 + z)^{2} d_{A}$ の関係があります。 $χ$ は $z$ とともに増えますが上限があるのに対し、 $\frac{1}{1 + z}$ は減り続けるので、 $d_{A}$ はある $z$ で最大値をとります。昔の宇宙は小さく、遠い天体は私たちの近くにあったときに光を出したからです。

手順

宇宙の成分から $H (z) = H_{0} Ω_{r} (1 + z)^{4} + Ω_{m} (1 + z)^{3} + Ω_{Λ}$ を書く
共動距離 $χ (z) = \int_{0}^{z} \frac{c d z ^{'}}{H ( z ^{'} )}$ を計算する（必要なら $u = (1 + z^{'})^{- 1/2}$ などで置換する）
光度距離 $d_{L} = (1 + z) χ (z)$ 、角径距離 $d_{A} = \frac{χ ( z )}{1 + z}$ を求める（平坦な場合）
$d_{A}$ の最大を求めるときは $\frac{d}{d z} d_{A} = 0$ 、すなわち $\frac{c}{H ( z )} (1 + z) = χ (z)$ を満たす $z$ を探し、増減を確かめる（扱いやすい変数に置き換えてから微分してもよい）

例題

物質だけを含む空間的に平坦な宇宙（ $Ω_{m} = 1$ , $Ω_{r} = Ω_{Λ} = 0$ 、今日のハッブル定数 $H_{0}$ 、光速 $c$ ）を考える。 $z > 0$ で角径距離 $d_{A} (z)$ が最大になる赤方偏移 $z$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $H (z) = H_{0} (1 + z)^{3/2}$ 。

手順 2: $χ (z) = \frac{c}{H _{0}} \int_{0}^{z} (1 + z^{'})^{- 3/2} d z^{'} = \frac{c}{H _{0}} [- 2 (1 + z^{'})^{- 1/2}]_{0}^{z} = \frac{2 c}{H _{0}} (1 - \frac{1}{1 + z}) .$

手順 3: $d_{A} = \frac{χ}{1 + z} = \frac{2 c}{H _{0}} \cdot \frac{1}{1 + z} (1 - \frac{1}{1 + z}) .$

手順 4: $u = \frac{1}{1 + z}$ とおくと、 $z$ が $0 \to \infty$ と増えるとき $u$ は $1 \to 0$ と単調に減り、 $d_{A} = \frac{2 c}{H _{0}} (u^{2} - u^{3})$ 。 $g (u) = u^{2} - u^{3}$ について $g^{'} (u) = 2 u - 3 u^{2} = u (2 - 3 u)$ で、 $0 < u < 1$ では $u < \frac{2}{3}$ で $g^{'} > 0$ 、 $u > \frac{2}{3}$ で $g^{'} < 0$ だから、 $u = \frac{2}{3}$ で最大（最大値 $g = \frac{4}{27}$ 、つまり $d_{A} = \frac{8 c}{27 H _{0}}$ ）。このとき $1 + z = \frac{1}{u ^{2}} = \frac{9}{4}$ より $z = \frac{5}{4} .$

答え: $\frac{5}{4}$

よくある誤り

共動距離を $χ = \frac{cz}{H _{0}}$ と、ハッブルの法則をそのまま遠方まで使ってしまう誤り。これは $z ≪ 1$ でしか成り立たない。正しくは $χ (z) = \int_{0}^{z} \frac{c d z ^{'}}{H ( z ^{'} )}$ で、例えば物質だけの平坦な宇宙では $\frac{2 c}{H _{0}} (1 - \frac{1}{1 + z})$ となり、 $z \to \infty$ でも $\frac{2 c}{H _{0}}$ を超えない。
光度距離を $d_{L} = 1 + z χ$ や $χ$ としてしまう誤り。正しくは光子 1 個のエネルギーの減少で $\frac{1}{1 + z}$ 、到着間隔の伸びでさらに $\frac{1}{1 + z}$ の、合わせて $(1 + z)^{- 2}$ だけ流束が減るので $d_{L} = (1 + z) χ$ 。
角径距離を $d_{A} = (1 + z) χ$ と、光度距離と逆向きにしてしまう誤り。正しくは天体の大きさは光を出したときの物理的な長さなので、共動的な長さ $χ θ$ に $a = \frac{1}{1 + z}$ を掛けて $d_{A} = \frac{χ}{1 + z}$ 、したがって $d_{L} = (1 + z)^{2} d_{A}$ 。
$d_{A}$ も $z$ とともに単調に増えると考えてしまう誤り。正しくは物質だけの平坦な宇宙では $z = \frac{5}{4}$ で最大値 $\frac{8 c}{27 H _{0}}$ をとり、それより遠い天体は同じ大きさでもかえって大きな角度に見える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
空間的に平坦で、非相対論的物質だけを含む宇宙（アインシュタイン・ド・ジッター宇宙）を考える。ハッブル・パラメータは赤方偏移 $z$ の関数として
$H (z) = H_{0} (1 + z)^{3/2}$
で与えられる（ $H_{0} > 0$ は現在のハッブル定数、 $c$ は光速）。共動距離を $χ (z) = \int_{0}^{z} \frac{c d z ^{'}}{H ( z ^{'} )}$ 、光度距離を $d_{L} = (1 + z) χ (z)$ で定義する。赤方偏移 $z = 3$ の天体までの光度距離 $d_{L}$ を $c$ と $H_{0}$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
空間的に平坦な一様等方宇宙を考える。計量の符号は $(-, +, +, +)$ とし、計量を
$d s^{2} = - c^{2} d t^{2} + a (t)^{2} (d χ^{2} + χ^{2} d Ω^{2})$
と書く。 $a (t)$ はスケール因子で、現在時刻 $t_{0}$ で $a (t_{0}) = 1$ と規格化する。 $c$ は光速である。
宇宙の中身は、状態方程式 $p = w ρ c^{2}$ （ $w$ は定数で $w > - \frac{1}{3}$ ）に従う完全流体 1 成分だけとする。宇宙定数はなく、空間曲率は $0$ とする。現在のハッブル定数を $H_{0}$ とする。
赤方偏移 $z$ の天体の角径距離 $d_{A} (z)$ は、赤方偏移の増加とともに増えたのち減少に転じる。 $d_{A} (z)$ が最大になる赤方偏移 $z_{*}$ を $w$ の式で求めよ。