宇宙物理・宇宙論の問題

空間的に平坦で、物質（圧力が無視できる非相対論的な物質）だけを含む宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブル・パラメータを $H=\frac{1}{a}\frac{da}{dt}$ とし、宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
にしたがうとする（$G$ は万有引力定数、$\rho$ は物質の密度）。物質の密度は $\rho \propto a^{-3}$ で変化し、時刻 $t=0$ で $a=0$ とする。現在のスケール因子を $a_0$、現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

スケール因子が現在の $\frac{1}{4}$ であった時刻（赤方偏移 $z=3$ の時刻）$t$ を $H_0$ を用いて表せ。

空間的に平坦な一様等方宇宙が、圧力の無視できる物質（ダスト）と宇宙項 $\Lambda$（$\Lambda >0$）だけを含むとする。スケール因子を $a(t)$（現在 $a=1$）、万有引力定数を $G$、光速を $c$、物質の質量密度を ${\rho }_m$ とし、物質の質量は保存されるので ${\rho }_m\propto a^{-3}$ である。スケール因子は加速方程式
$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}{\rho }_m+\frac{\Lambda c^2}{3}$$
に従う。現在のハッブルパラメータを $H_0$、臨界密度を ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の物質の密度パラメータを ${\Omega }_m=\frac{{\rho }_{m,0}}{{\rho }_{\mathrm{c}}}=\frac{1}{4}$、宇宙項の密度パラメータを ${\Omega }_{\Lambda }=\frac{\Lambda c^2}{3H_0^2}=\frac{3}{4}$ とする（${\rho }_{m,0}$ は現在の物質の密度）。宇宙の膨張が減速から加速に転じた時刻（$\ddot{a}=0$ となる時刻）に放出され、現在観測される光の赤方偏移 $z$ を、根号を用いた正確な値で求めよ。ただし $1+z=\frac{1}{a}$ である。

空間的に平坦（曲率 $k=0$）で宇宙項がなく、放射（光子などの相対論的粒子）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、放射のエネルギー密度を $c^2$ で割った質量密度を $\rho$、万有引力定数を $G$ とする。この宇宙ではフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
が成り立ち、宇宙膨張にともなって $\rho \propto a^{-4}$ と変化する。時刻 $t$ はスケール因子が $a=0$ となる時刻を $t=0$ として測り、$t>0$ で $\dot{a}>0$ とする。密度が $\rho ={\rho }_1$（${\rho }_1>0$）となる時刻 $t_1$ を、$G$ と ${\rho }_1$ を用いて表せ。

温度 $T$ の黒体放射（宇宙マイクロ波背景放射など）を考える。プランク定数を $h$、ボルツマン定数を $k_B$ とし、$x=\frac{h\nu }{k_{B}T}$ と置くと、振動数あたりのエネルギー密度は
$$u_{\nu }d\nu \propto \frac{x^3}{e^x-1}dx$$
と表される。また ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ である。

振動数 $0$ から ${\nu }_1$ までの低振動数の帯域を考え、$x_1=\frac{h{\nu }_1}{k_{B}T}=\frac{1}{10}$ とする。この帯域の放射が担うエネルギーが、放射の全エネルギーに占める割合 $f$ を、$x\ll 1$ で $\frac{1}{e^x-1}\approx \frac{1}{x}$ と近似した最低次の近似で求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な形で書け。

一様等方に膨張する宇宙で、遠方の銀河から放出された水素のライマン $\alpha$ 線（放出時の波長 $121.6\text{nm}$）が、現在の地球で波長 $486.4\text{nm}$ として観測された。観測された波長の伸びはすべて宇宙論的赤方偏移によるもの（銀河の固有運動や重力による偏移はない）とし、赤方偏移 $z$ は観測波長 ${\lambda }_{\text{obs}}$ と放出時の波長 ${\lambda }_{\text{emit}}$ により $1+z=\frac{{\lambda }_{\text{obs}}}{{\lambda }_{\text{emit}}}$ で定める。スケール因子を $a$（現在の値を $a_0$）とすると、$1+z=\frac{a_0}{a}$ が成り立つ。ここで $a$ は光が放出されたときのスケール因子である。また、宇宙の物質（非相対論的な物質）の平均密度 $\rho$ は $\rho \propto a^{-3}$ にしたがって変化するとする。この光が放出されたときの宇宙の物質の平均密度は、現在の物質の平均密度の何倍か。正確な値で求めよ。