宇宙物理・宇宙論の問題

空間的に平坦で、物質（圧力が無視できる非相対論的な物質）だけを含む宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブル・パラメータを $H=\frac{1}{a}\frac{da}{dt}$ とし、宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
にしたがうとする（$G$ は万有引力定数、$\rho$ は物質の密度）。物質の密度は $\rho \propto a^{-3}$ で変化し、時刻 $t=0$ で $a=0$ とする。現在のスケール因子を $a_0$、現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

スケール因子が現在の $\frac{1}{4}$ であった時刻（赤方偏移 $z=3$ の時刻）$t$ を $H_0$ を用いて表せ。

空間的に平坦で、放射・物質・宇宙項を含む宇宙を考える。現在のスケール因子を $a_0=1$ とし、ハッブル・パラメータ $H$ はスケール因子 $a$ の関数として
$$H(a{)}^2=H_0^2\left({\Omega }_r{a}^{-4}+{\Omega }_m{a}^{-3}+{\Omega }_{\Lambda }\right)$$
と表されるとする。ここで $H_0$ は現在のハッブル定数、${\Omega }_r$, ${\Omega }_m$, ${\Omega }_{\Lambda }$ はそれぞれ放射・物質・宇宙項の現在の密度パラメータである。

${\Omega }_m=0.30$, ${\Omega }_r=1.0\times 10^{-4}$ として、放射のエネルギー密度と物質のエネルギー密度が等しくなる時期（物質・放射等密度時）の赤方偏移 $z_{\mathrm{eq}}$ を求めよ。ただし赤方偏移は $1+z=\frac{1}{a}$ で定める。答えは整数で答えよ。

ある慣性系 $S$ では、宇宙背景放射が温度 $T_0$ の等方的な黒体放射になっている。この系 $S$ に対して速さ $v=\frac{3}{5}c$（$c$ は真空中の光速）で等速直線運動する観測者を考える。観測者の静止系で、観測者の進行方向と観測者が見る向き（視線の向き）とのなす角を ${\theta }^{\prime }$ とすると、その向きに見える放射も黒体放射であり、その温度は
$$T^{\prime }({\theta }^{\prime })=\frac{T_0\sqrt{1-{\beta }^2}}{1-\beta \cos {\theta }^{\prime }},\beta =\frac{v}{c}$$
で与えられる。観測者が真正面（${\theta }^{\prime }=0$）に見る放射の温度は、真後ろ（${\theta }^{\prime }=\pi$）に見る放射の温度の何倍か。正確な値で求めよ。

初期宇宙を模した次のモデルを考える。自然単位系（$\hslash =c=k_B=1$）を用いる。

ある時刻に、光子（内部自由度 $g_{\gamma }=2$）と、フェルミ粒子 $X$ とその反粒子 $\bar{X}$（内部自由度は 2 つ合わせて $g_X=2$）が、温度 $T_1$ の熱平衡にあり、どれも相対論的である。また、別の軽い粒子 $Y$ はこの時刻にはすでにほかの粒子との相互作用を断っており（脱結合しており）、その温度もちょうど $T_1$ である。

その後、宇宙の膨張で温度が下がると、$X$ と $\bar{X}$ はすべて対消滅して光子になり、そのエントロピーはすべて光子に移る。$Y$ はこの過程に関わらず、その温度はスケール因子 $a$ に反比例して下がる（$T_Y\propto a^{-1}$）。

相対論的粒子のエントロピー密度は $s=\frac{2{\pi }^2}{45}{g}_{\text{eff}}{T}^3$（$g_{\text{eff}}$ はボース粒子の内部自由度の和に、フェルミ粒子の内部自由度の和の $\frac{7}{8}$ 倍を加えたもの）で与えられ、光子と $X$, $\bar{X}$ からなる系の共動体積あたりのエントロピー $s{a}^3$ は保存されるとする。

対消滅が終わった後の、$Y$ の温度 $T_Y$ と光子の温度 $T_{\gamma }$ の比 $\frac{T_Y}{T_{\gamma }}$ を求めよ。

質量 $M$ の球対称で回転していないブラックホールがある。万有引力定数を $G$、真空中の光速を $c$ とする。ブラックホールの中心から距離 $r=\frac{8GM}{3c^2}$ の位置に静止している光源が光を出し、その光を十分遠方（無限遠とみなせる）に静止している観測者が受け取る。シュヴァルツシルト半径を $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ とし、静止した光源からの光の重力赤方偏移 $z$ は
$$1+z={\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1/2}$$
で与えられるものとする。このときの赤方偏移 $z$ の値を求めよ。