宇宙物理・宇宙論の問題

質量 $M$ の自転していない球対称な天体（ブラックホール）のまわりの時空は、シュヴァルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。ここで $r_s$ はシュヴァルツシルト半径 $r_s=\frac{2GM}{c^2}$、$G$ は万有引力定数、$c$ は光速である。

動径座標 $r$（$r>r_s$）の位置に静止した光源が、光源とともに静止した観測者が測って波長 ${\lambda }_0$ の光を出す。この光を、天体から十分遠方（$r\to \infty$）に静止した観測者が受け取ると、波長は $2{\lambda }_0$ であった。光源の位置の動径座標 $r$ を $G$, $M$, $c$ を用いて表せ。ただし、天体の質量はほかの天体の影響を受けず、光の伝わる経路上に物質はないものとする。

質量 $M$ の自転していない球対称なブラックホールのまわりの時空は、シュヴァルツシルト座標 $(t,r,\theta ,\varphi )$ を用いて
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
と表される。ここで $c$ は光速、$G$ は万有引力定数、$r_s=\frac{2GM}{c^2}$ はシュヴァルツシルト半径である。

動径座標 $r_A=\frac{3GM}{c^2}$ の位置に静止した観測者 A が、自分の固有時で測って振動数 ${\nu }_A$ の単色光を外向きに送り出し、同じ動径方向の $r_B=\frac{6GM}{c^2}$ の位置に静止した観測者 B がこの光を受け取る。B が自分の固有時で測った振動数を ${\nu }_B$ とし、赤方偏移を $z=\frac{{\nu }_A}{{\nu }_B}-1$ で定める。$z$ の値を、根号を用いた正確な形で求めよ。ただし、計量は時間 $t$ によらないので、光の山が A を出る座標時間の間隔と B に届く座標時間の間隔は等しいとしてよい。

質量 $M$ の自転していない球対称な中性子星を考える。星の外部の時空はシュヴァルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。ここで $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ はシュヴァルツシルト半径、$G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$r$ は動径座標である。

星の表面（動径座標 $r=R$、$R>r_s$）に静止した原子が出した輝線を、星から十分遠方（$r\to \infty$）に静止した観測者が観測したところ、その波長は表面で静止した観測者が測る波長の $\frac{5}{4}$ 倍であった。星の自転・運動、および星と観測者の間の物質の影響は無視できるものとする。星の半径 $R$ を $G$, $M$, $c$ を用いて表せ。

半径 $R$ の球対称な星があり、その密度は星の内部のどこでも一定値 ${\rho }_0$ であるとする。星は静水圧平衡にあり、中心からの距離 $r$ における圧力 $P(r)$ は
$$\frac{dP}{dr}=-\frac{GM(r)\rho (r)}{r^2},M(r)={\int }_0^{r}4\pi r^{\prime 2}\rho (r^{\prime })d{r}^{\prime }$$
を満たす。ここで $G$ は万有引力定数、$M(r)$ は半径 $r$ の球の内側にある質量である。星の表面 $r=R$ で圧力は $0$ とする。このとき、星の中心 $r=0$ での圧力 $P_c$ を $G$, ${\rho }_0$, $R$ を用いて表せ。

ある慣性系 $S$ では、宇宙背景放射が温度 $T_0$ の等方的な黒体放射になっている。この系 $S$ に対して速さ $v=\frac{3}{5}c$（$c$ は真空中の光速）で等速直線運動する観測者を考える。観測者の静止系で、観測者の進行方向と観測者が見る向き（視線の向き）とのなす角を ${\theta }^{\prime }$ とすると、その向きに見える放射も黒体放射であり、その温度は
$$T^{\prime }({\theta }^{\prime })=\frac{T_0\sqrt{1-{\beta }^2}}{1-\beta \cos {\theta }^{\prime }},\beta =\frac{v}{c}$$
で与えられる。観測者が真正面（${\theta }^{\prime }=0$）に見る放射の温度は、真後ろ（${\theta }^{\prime }=\pi$）に見る放射の温度の何倍か。正確な値で求めよ。