宇宙物理・宇宙論の問題

質量 $M$ の自転していない球対称な天体（ブラックホール）のまわりの時空は、シュヴァルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。ここで $r_s$ はシュヴァルツシルト半径 $r_s=\frac{2GM}{c^2}$、$G$ は万有引力定数、$c$ は光速である。

動径座標 $r$（$r>r_s$）の位置に静止した光源が、光源とともに静止した観測者が測って波長 ${\lambda }_0$ の光を出す。この光を、天体から十分遠方（$r\to \infty$）に静止した観測者が受け取ると、波長は $2{\lambda }_0$ であった。光源の位置の動径座標 $r$ を $G$, $M$, $c$ を用いて表せ。ただし、天体の質量はほかの天体の影響を受けず、光の伝わる経路上に物質はないものとする。

質量 $M$ の自転していない球対称な中性子星を考える。星の外部の時空はシュヴァルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。ここで $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ はシュヴァルツシルト半径、$G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$r$ は動径座標である。

星の表面（動径座標 $r=R$、$R>r_s$）に静止した原子が出した輝線を、星から十分遠方（$r\to \infty$）に静止した観測者が観測したところ、その波長は表面で静止した観測者が測る波長の $\frac{5}{4}$ 倍であった。星の自転・運動、および星と観測者の間の物質の影響は無視できるものとする。星の半径 $R$ を $G$, $M$, $c$ を用いて表せ。

質量 $M$ の球対称で回転していないブラックホールがある。万有引力定数を $G$、真空中の光速を $c$ とする。ブラックホールの中心から距離 $r=\frac{8GM}{3c^2}$ の位置に静止している光源が光を出し、その光を十分遠方（無限遠とみなせる）に静止している観測者が受け取る。シュヴァルツシルト半径を $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ とし、静止した光源からの光の重力赤方偏移 $z$ は
$$1+z={\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1/2}$$
で与えられるものとする。このときの赤方偏移 $z$ の値を求めよ。

空間的に平坦な一様等方宇宙が、圧力の無視できる物質（ダスト）と宇宙項 $\Lambda$（$\Lambda >0$）だけを含むとする。スケール因子を $a(t)$（現在 $a=1$）、万有引力定数を $G$、光速を $c$、物質の質量密度を ${\rho }_m$ とし、物質の質量は保存されるので ${\rho }_m\propto a^{-3}$ である。スケール因子は加速方程式
$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}{\rho }_m+\frac{\Lambda c^2}{3}$$
に従う。現在のハッブルパラメータを $H_0$、臨界密度を ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の物質の密度パラメータを ${\Omega }_m=\frac{{\rho }_{m,0}}{{\rho }_{\mathrm{c}}}=\frac{1}{4}$、宇宙項の密度パラメータを ${\Omega }_{\Lambda }=\frac{\Lambda c^2}{3H_0^2}=\frac{3}{4}$ とする（${\rho }_{m,0}$ は現在の物質の密度）。宇宙の膨張が減速から加速に転じた時刻（$\ddot{a}=0$ となる時刻）に放出され、現在観測される光の赤方偏移 $z$ を、根号を用いた正確な値で求めよ。ただし $1+z=\frac{1}{a}$ である。

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は、温度 $T$ の黒体放射（光子気体）とみなせる。プランク定数を $h$、光速を $c$、ボルツマン定数を $k_B$ とする。単位体積あたり、振動数 $\nu$ から $\nu +d\nu$ の範囲にある放射のエネルギーは $u_{\nu }d\nu$ と書け、$u_{\nu }$ はプランクの公式
$$u_{\nu }=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$
で与えられる。光子気体の圧力は $p=\frac{u}{3}$（$u$ は全エネルギー密度）であり、光子の化学ポテンシャルは $0$ なので、エントロピー密度は $s=\frac{u+p}{T}$ で与えられる。必要なら次の積分の値を用いてよい。
$${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15},{\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{e^x-1}dx=2\zeta (3),\zeta (3)=1.202$$
この黒体放射の光子数密度を $n$ とするとき、光子 1 個あたりのエントロピーを $k_B$ を単位として表した量 $\frac{s}{n{k}_B}$ を、有効数字 3 桁で求めよ。