シュヴァルツシルト半径と重力赤方偏移

シュヴァルツシルト半径 $r_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$ を求め、静止した放射源からの光の重力赤方偏移 $1 + z = (1 - \frac{r _{s}}{r})^{- 1/2}$ （弱い場では $z \approx \frac{GM}{r c ^{2}}$ ）を求められる

前提

万有引力による位置エネルギーと脱出速度（高校物理円運動・単振動・万有引力）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
テイラー展開（大学数学微分積分）

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テイラー展開（大学数学微分積分）

説明

質量 $M$ の天体について、光さえ抜け出せなくなる境目の半径（シュヴァルツシルト半径） $r_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$ を求められるようになります。また、重力の強い場所に静止した光源から出た光が、遠くの観測者に届くまでに波長が伸びる（振動数が下がる）現象＝重力赤方偏移の大きさ $z$ を求められます。ブラックホールの大きさの見積もりや、白色矮星・中性子星の表面から出たスペクトル線のずれの解釈に使います。

なぜそうしてよいのか

まず直観的な見積もりです。半径 $R$ の天体表面からの脱出速度は、力学的エネルギー保存 $\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{R} = 0$ から $v = \frac{2 GM}{R}$ でした。これが光速 $c$ に等しくなる半径は $R = \frac{2 GM}{c ^{2}}$ です。ニュートン力学のこの議論は厳密ではありませんが、一般相対性理論で静止した球対称な天体のまわりを正しく扱っても、ちょうど同じ $r_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$ に特別な半径が現れ、それより内側からは光も外へ出られません。

次に赤方偏移です。赤方偏移 $z$ は、出たときの波長 $λ_{放}$ と遠方で観測した波長 $λ_{観}$ を使って $z = \frac{λ _{観} - λ _{放}}{λ _{放}}$ 、つまり $1 + z = \frac{λ _{観}}{λ _{放}} = \frac{ν _{放}}{ν _{観}}$ で定義します。光子のエネルギーは $h ν$ なので、これを質量 $h ν / c^{2}$ の粒子とみなすと、半径 $r$ から無限遠まで重力に逆らって上るときに $\frac{GM}{r} \cdot \frac{h ν}{c ^{2}}$ だけエネルギーを失うはずです。 $h ν_{観} \approx h ν_{放} (1 - \frac{GM}{r c ^{2}})$ より、重力が弱い（ $GM / (r c^{2}) ≪ 1$ ）とき $z \approx \frac{GM}{r c ^{2}}$ となります。

一般相対性理論による正確な結果は、半径 $r$ （ $r > r_{s}$ ）に静止した光源から無限遠の観測者への光について
$1 + z = (1 - \frac{r _{s}}{r})^{- 1/2}$
です。 $x = \frac{r _{s}}{r}$ が小さいとき、テイラー展開 $(1 - x)^{- 1/2} = 1 + \frac{x}{2} + \dots$ より $z \approx \frac{r _{s}}{2 r} = \frac{GM}{r c ^{2}}$ となり、上の直観的な見積もりと一致します。一方 $r \to r_{s}$ では $z \to \infty$ となり、シュヴァルツシルト半径から出た光は遠方に届かないことを表しています。

手順

天体の質量 $M$ からシュヴァルツシルト半径 $r_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$ を求める
光源の位置 $r$ との比 $\frac{r _{s}}{r}$ を計算する（光源は $r > r_{s}$ に静止していること、観測者は遠方にいることを確認する）
正確な式 $1 + z = (1 - \frac{r _{s}}{r})^{- 1/2}$ から $z$ を求める
$\frac{r _{s}}{r} ≪ 1$ なら近似式 $z \approx \frac{r _{s}}{2 r} = \frac{GM}{r c ^{2}}$ を使ってよい
観測される波長・振動数が必要なら $λ_{観} = (1 + z) λ_{放}$ 、 $ν_{観} = \frac{ν _{放}}{1 + z}$ で求める

例題

質量 $M$ のブラックホールの中心から距離 $r = \frac{8 GM}{3 c ^{2}}$ の位置に静止した光源がある。万有引力定数を $G$ 、光速を $c$ とし、遠方の観測者が受ける光の重力赤方偏移は $1 + z = (1 - \frac{r _{s}}{r})^{- 1/2}$ （ $r_{s}$ はシュヴァルツシルト半径）で与えられるとする。 $z$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $r_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$ 。

手順 2: $\frac{r _{s}}{r} = \frac{2 GM / c ^{2}}{8 GM / ( 3 c ^{2} )} = \frac{2 \times 3}{8} = \frac{3}{4}$
$r = \frac{4}{3} r_{s} > r_{s}$ なので光は遠方に届く。

手順 3: $1 + z = (1 - \frac{3}{4})^{- 1/2} = (\frac{1}{4})^{- 1/2} = 2$
よって $z = 1$ 。観測される波長は出たときの 2 倍になる。

手順 4（比較）: $\frac{r _{s}}{r} = \frac{3}{4}$ は小さくないので、近似式 $z \approx \frac{r _{s}}{2 r} = \frac{3}{8}$ は大きく外れる。ここでは正確な式を使う必要がある。

答え: $1$

よくある誤り

シュヴァルツシルト半径を $r_{s} = \frac{GM}{c ^{2}}$ と 2 を落としてしまう誤り（円軌道の速さが $c$ になる半径と混同する）。脱出速度 $2 GM / r$ が $c$ になる半径なので、正しくは $r_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$
$1 + z = (1 - \frac{r _{s}}{r})^{- 1/2}$ をそのまま $z$ の式と読んで、 $z = (1 - \frac{r _{s}}{r})^{- 1/2}$ としてしまう誤り（例題なら $z = 2$ ）。左辺は $1 + z$ なので、正しくは $z = (1 - \frac{r _{s}}{r})^{- 1/2} - 1 = 1$
弱い場の近似 $z \approx \frac{GM}{r c ^{2}}$ を、 $r$ が $r_{s}$ に近い強い場でも使ってしまう誤り（例題なら $\frac{3}{8}$ ）。近似が使えるのは $\frac{r _{s}}{r} ≪ 1$ のときだけで、そうでなければ正しくは $1 + z = (1 - \frac{r _{s}}{r})^{- 1/2}$
赤方偏移で振動数が上がる、あるいは $λ_{観} = \frac{λ _{放}}{1 + z}$ としてしまう誤り。重力に逆らって上る光はエネルギーを失うので、正しくは波長が伸びて $λ_{観} = (1 + z) λ_{放}$ 、振動数は下がって $ν_{観} = \frac{ν _{放}}{1 + z}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $M$ の球対称で回転していないブラックホールがある。万有引力定数を $G$ 、真空中の光速を $c$ とする。ブラックホールの中心から距離 $r = \frac{8 GM}{3 c ^{2}}$ の位置に静止している光源が光を出し、その光を十分遠方（無限遠とみなせる）に静止している観測者が受け取る。シュヴァルツシルト半径を $r_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$ とし、静止した光源からの光の重力赤方偏移 $z$ は
$1 + z = (1 - \frac{r _{s}}{r})^{- 1/2}$
で与えられるものとする。このときの赤方偏移 $z$ の値を求めよ。

シュヴァルツシルト半径と重力赤方偏移

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題