宇宙論の問題

空間的に平坦で、非相対論的物質だけを含む宇宙（アインシュタイン・ド・ジッター宇宙）を考える。ハッブル・パラメータは赤方偏移 $z$ の関数として
$$H(z)=H_0(1+z{)}^{3/2}$$
で与えられる（$H_0>0$ は現在のハッブル定数、$c$ は光速）。共動距離を $\chi (z)={\int }_0^z\frac{cd{z}^{\prime }}{H(z^{\prime })}$、光度距離を $d_L=(1+z)\chi (z)$ で定義する。赤方偏移 $z=3$ の天体までの光度距離 $d_L$ を $c$ と $H_0$ を用いて表せ。

空間的に平坦で、非相対論的物質が支配する宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。スケール因子は $a(t)\propto t^{2/3}$（$t>0$）、ハッブル・パラメータは $H=\dot{a}/a$、平均密度 $\bar{\rho }$ は $H^2=\frac{8\pi G}{3}\bar{\rho }$ を満たす（$G$ は万有引力定数）。

物質は小さな圧力をもち、その音速 $c_s$ は $a^{-1/2}$ に比例して変化するとする。共動波数 $k$ の密度ゆらぎ ${\delta }_k(t)$ は線形の方程式
$${\ddot{\delta }}_k+2H{\dot{\delta }}_k=\left(4\pi G\bar{\rho }-\frac{c_s^2{k}^2}{a^2}\right){\delta }_k$$
に従い、ジーンズ波数を $k_J=\frac{a\sqrt{4\pi G\bar{\rho }}}{c_s}$ で定義する。このとき $k_J$ は時間によらない定数になる。

$k=\frac{k_J}{2}$ のゆらぎについて、方程式が ${\delta }_k\propto t^n$ の形の解をもつような実数 $n$ のうち、大きいほう（成長モードの指数）を求めよ。

空間的に平坦で、圧力のない物質だけを含む宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。スケール因子は $a(t)\propto t^{2/3}$（$t>0$ は宇宙時間）で、ハッブル・パラメータ $H=\dot{a}/a$ と平均密度 $\bar{\rho }$ はフリードマン方程式 $H^2=\frac{8\pi G}{3}\bar{\rho }$ を満たす（$G$ は万有引力定数）。

ホライズンより十分小さいスケールの物質の密度ゆらぎ $\delta (t)$ は、圧力を無視した線形の方程式
$$\ddot{\delta }+2H\dot{\delta }=4\pi G\bar{\rho }\delta$$
に従う。この方程式が $\delta \propto t^n$ の形の解をもつような指数 $n$ をすべて求め、集合として答えよ。

空間的に平坦な FLRW 宇宙 $d{s}^2=d{t}^2-a(t{)}^2\left(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2\right)$（計量の符号は $(+,-,-,-)$、$c=1$）を考える。宇宙を満たす成分は放射（エネルギー密度 ${\rho }_r\propto a^{-4}$）と非相対論的物質（${\rho }_m\propto a^{-3}$）の 2 つだけとする。宇宙項と空間曲率は $0$ とし、$t=0$ で $a=0$ とする。${\rho }_r={\rho }_m$ となるときのスケール因子を $a_{\mathrm{eq}}$ とする。

スケール因子の局所的なべき指数を
$$n(t)\equiv \frac{d\log a}{d\log t}$$
で定義する。放射優勢期では $n\to 1/2$、物質優勢期では $n\to 2/3$ となる。$n(t)=\frac{3}{5}$ となる時刻はただ 1 つである。この時刻における $a/a_{\mathrm{eq}}$ の値を、根号を用いた正確な形で求めよ。

光速を $c=1$ とする単位系を用いる。空間的に平坦な一様等方宇宙が、状態方程式 $p=\rho$（$w=1$、いわゆる硬い物質）に従う 1 成分の完全流体だけで支配されているとする。スケール因子 $a(t)$ はフリードマン方程式
$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
と連続の式
$$\dot{\rho }+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho +p)=0$$
に従う（$G$ は万有引力定数、$\dot{}$ は宇宙時間 $t$ による微分）。宇宙は膨張しており（$\dot{a}>0$）、$t=0$ で $a=0$ とする。このとき $a(t)\propto t^n$ となる。指数 $n$ を求めよ。