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宇宙論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院物理宇宙論

平坦なアインシュタイン–ド・ジッター宇宙（物質のみで宇宙の膨張が決まる宇宙）を考える。スケール因子は $a \propto t^{2/3}$ 、ハッブル・パラメータは $H = a ˙ / a$ 、背景の物質密度を $ρ ˉ$ とする。この物質は圧力をもつ完全流体とし、圧力は膨張に影響しないほど小さい（ $p ≪ ρ ˉ c^{2}$ ）とする。共動波数 $k$ の密度ゆらぎ $δ_{k} (t)$ は、線形近似・ニュートン近似（ホライズンより十分小さいスケール）の範囲で
$δ ¨_{k} + 2 H δ ˙_{k} = (4 π G ρ ˉ - \frac{c _{s}^{2} k ^{2}}{a ^{2}}) δ_{k}$
に従うとする。ここで $c_{s}$ は音速で、断熱的に $c_{s}^{2} \propto a^{- 1}$ と変化するものとする。共動ジーンズ波数を
$k_{J} \equiv \frac{a 4 π G ρ ˉ}{c _{s}}$
で定義する。 $0 < k < k_{J}$ のとき、成長モードは $δ_{k} \propto a^{m}$ と表される。指数 $m$ を $k$ と $k_{J}$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

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ヒント

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ヒント 1

$k_{J}$ が時間に依存するかどうかをまず調べ、圧力項を $4 π G ρ ˉ$ と同じ時間依存性の形に書き直してみよう。

ヒント 2

$H = 2/ (3 t)$ と $4 π G ρ ˉ = \frac{3}{2} H^{2} = \frac{2}{3 t ^{2}}$ を使うと、方程式はオイラー型になる。 $δ_{k} \propto t^{n}$ を代入しよう。

ヒント 3

特性方程式は $3 n^{2} + n - 2 (1 - k^{2} / k_{J}^{2}) = 0$ となる。成長モードの $n$ を求めたら、 $a \propto t^{2/3}$ を使って $a$ のべきに直す。

答えと解説

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\frac{- 1 + 25 - 24 k ^{2} / k _{J}^{2}}{4}

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解説を読む

アインシュタイン–ド・ジッター宇宙では $a \propto t^{2/3}$ なので $H = \frac{2}{3 t}$ である。フリードマン方程式 $H^{2} = \frac{8 π G}{3} ρ ˉ$ より
$4 π G ρ ˉ = \frac{3}{2} H^{2} = \frac{2}{3 t ^{2}} .$

$ρ ˉ \propto a^{- 3}$ 、 $c_{s}^{2} \propto a^{- 1}$ なので
$k_{J}^{2} = \frac{4 π G ρ ˉ a ^{2}}{c _{s}^{2}} \propto \frac{a ^{- 3} a ^{2}}{a ^{- 1}} = a^{0}$
となり、 $k_{J}$ は時間によらない定数である。このとき
$\frac{c _{s}^{2} k ^{2}}{a ^{2}} = 4 π G ρ ˉ \frac{k ^{2}}{k _{J}^{2}}$
と書ける。 $q \equiv k^{2} / k_{J}^{2}$ （定数）とおくと、方程式は
$δ ¨_{k} + \frac{4}{3 t} δ ˙_{k} - \frac{2}{3 t ^{2}} (1 - q) δ_{k} = 0$
となる。

これはオイラー型の方程式なので、 $δ_{k} \propto t^{n}$ を代入すると
$n (n - 1) + \frac{4}{3} n - \frac{2}{3} (1 - q) = 0 ⟺ 3 n^{2} + n - 2 (1 - q) = 0.$
これを解くと
$n = \frac{- 1 \pm 1 + 24 ( 1 - q )}{6} = \frac{- 1 \pm 25 - 24 q}{6}$
を得る。 $0 < q < 1$ では根号の中は正である。成長モードは複号の $+$ をとったものである。

$a \propto t^{2/3}$ より $t^{n} \propto a^{3 n /2}$ だから
$m = \frac{3}{2} n = \frac{- 1 + 25 - 24 k ^{2} / k _{J}^{2}}{4} .$

確認すると、 $k \to 0$ （圧力が無視できる極限）では $m = \frac{- 1 + 5}{4} = 1$ となり、よく知られた $δ \propto a$ を再現する。 $k \to k_{J}$ では $m = 0$ となり、成長が止まる。

別解

EdS 宇宙では $a \propto t^{2/3}$ より $H = 2/ (3 t)$ である。フリードマン方程式 $H^{2} = \frac{8 π G}{3} ρ ˉ$ から $4 π G ρ ˉ = \frac{3}{2} H^{2} = \frac{2}{3 t ^{2}}$ となる。

$c_{s}^{2} \propto a^{- 1} \propto t^{- 2/3}$ であり、 $a^{- 2} \propto t^{- 4/3}$ なので、 $c_{s}^{2} k^{2} / a^{2} \propto t^{- 2}$ である。

共動ジーンズ波数については $k_{J}^{2} = a^{2} 4 π G ρ ˉ / c_{s}^{2} \propto t^{4/3} t^{- 2} t^{2/3} = t^{0}$ となり、 $k_{J}$ は時間によらない定数である。したがって
$\frac{c _{s}^{2} k ^{2}}{a ^{2}} = \frac{k ^{2}}{k _{J}^{2}} 4 π G ρ ˉ = \frac{k ^{2}}{k _{J}^{2}} \frac{2}{3 t ^{2}} .$

ゆらぎの方程式は、 $x \equiv k^{2} / k_{J}^{2}$ として
$δ ¨ + \frac{4}{3 t} δ ˙ - \frac{2}{3 t ^{2}} (1 - x) δ = 0$
となる。 $δ \propto t^{n}$ を代入すると
$n (n - 1) + \frac{4}{3} n - \frac{2}{3} (1 - x) = 0, n^{2} + \frac{n}{3} - \frac{2}{3} (1 - x) = 0.$
これを解くと
$n = \frac{- 1 \pm 25 - 24 x}{6} .$
成長モードは $+$ の解で、 $n = \frac{- 1 + 25 - 24 x}{6}$ である。

$a \propto t^{2/3}$ より $t^{n} = a^{3 n /2}$ なので、 $m = 3 n /2$ である。よって
$m = \frac{- 1 + 25 - 24 k ^{2} / k _{J}^{2}}{4} .$

検算として、 $k \to 0$ で $m = (- 1 + 5) /4 = 1$ となり、通常の $δ \propto a$ が再現される。また $k = k_{J}$ では $m = 0$ で、 $n = 0$ は $n^{2} + n /3 = 0$ を満たす。 $k < k_{J}$ では $m > 0$ なので成長する。

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