原子核・素粒子の問題

質量数 $A$、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギー $B(A,Z)$ が、ワイツゼッカーの半経験的質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}+\delta (A,Z)$$
で与えられるとする。ここで $a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数であり、対エネルギーの項 $\delta (A,Z)$ は $A$ が奇数のとき $0$ とする。

互いに鏡像核の関係にある ${}_{13}^{27}\mathrm{Al}$（陽子 13 個、中性子 14 個）と ${}_{14}^{27}\mathrm{Si}$（陽子 14 個、中性子 13 個）について、この公式による結合エネルギーの差 $B(27,13)-B(27,14)$ を MeV 単位で求めよ。ただし $a_C=0.72\mathrm{MeV}$ とし、答えは正確な値（小数）で答えよ。

質量数が奇数 $A$ の原子核の結合エネルギーを、半経験的質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}$$
で表す（$Z$ は原子番号、$a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数。$A$ が奇数なので対エネルギーの項は $0$ である）。

$A=2Z+1$（$Z$ は正の整数）として、陽子数と中性子数を入れかえた関係にある 2 つの鏡像核 $(A,Z)$ と $(A,Z+1)$ を考える。たとえば $A=15$ なら ${}^{15}\mathrm{N}$ と ${}^{15}\mathrm{O}$ である。

結合エネルギーの差 $B(A,Z)-B(A,Z+1)$ を、$a_C$ と $A$ を用いて表せ。

質量数 $A$、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、ワイツゼッカーの半経験的質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}$$
で表す（$a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数）。$A$ は奇数とし、対エネルギーの項は考えない。中性原子の質量は
$$M(A,Z)c^2=Z{m}_{\mathrm{H}}{c}^2+(A-Z)m_n{c}^2-B(A,Z)$$
で与えられるとする（$m_{\mathrm{H}}$ は水素原子の質量、$m_n$ は中性子の質量。電子の結合エネルギーは無視する）。

$\Delta =(m_n-m_{\mathrm{H}})c^2$（$\Delta >0$）とおく。$A$ を固定し $Z$ を連続変数とみなしたとき、$M(A,Z)$ を最小にする（同重体の中で最も安定な）$Z$ の値 $Z_0$ を、$A,a_C,a_A,\Delta$ を用いて求めよ。

質量数 $A$、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギー $B(A,Z)$ を、半経験的質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}+\delta (A,Z)$$
で表す。$a_V,a_S,a_A$ は正の定数、$a_C=0.711\mathrm{MeV}$ であり、対エネルギー項 $\delta (A,Z)$ は $A$ が奇数のとき $0$ とする。

陽子数と中性子数を入れかえた関係にある奇数 $A=2Z+1$（$Z$ は正の整数）の鏡映核の組を考える。陽子数 $Z+1$・中性子数 $Z$ の原子核（親核）が、陽子数 $Z$・中性子数 $Z+1$ の原子核（娘核）へ ${\beta }^{+}$ 崩壊
$${}^A(Z+1)\to {}^{A}Z+e^{+}+{\nu }_e$$
を起こすことがエネルギー的に可能である（崩壊の $Q$ 値が正である）ような $A$ のうち、最小のものを求めよ。

ただし、原子核の質量は $M(A,Z)=Z{m}_p+(A-Z)m_n-B(A,Z)/c^2$ で与えられるとし、$m_p{c}^2=938.272\mathrm{MeV}$、$m_n{c}^2=939.565\mathrm{MeV}$、$m_e{c}^2=0.511\mathrm{MeV}$、ニュートリノの質量は $0$ とする。結合エネルギーは上の質量公式の値そのものを用いるものとする。

質量数 $A$、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、簡単化した半経験的質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}$$
で表す（$a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数で、対エネルギーの項は考えない）。$A,Z$ はともに正の偶数とし、$A,Z$ を連続変数のように扱ってよいものとする。

原子核 $(A,Z)$ が、質量数 $\frac{A}{2}$、原子番号 $\frac{Z}{2}$ の 2 つの同じ原子核に分裂する対称核分裂を考える。この分裂で放出されるエネルギー
$$Q=2B\left(\frac{A}{2},\frac{Z}{2}\right)-B(A,Z)$$
が正になるための条件は、$\frac{Z^2}{A}$ がある値 $x_0$ より大きいことである。$x_0$ を $a_S,a_C$ を用いて表せ。