質量欠損と結合エネルギー

核子の質量の和と原子核の質量の差（質量欠損 $Δ m$ ）を求め、 $E = Δ m c^{2}$ （ $1 u$ が $931 MeV$ に相当）から結合エネルギーと核子 1 個あたりの結合エネルギーを求められる

前提

原子核の構成と放射性崩壊（高校物理原子）

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説明

原子核の質量は、それを構成する陽子と中性子（まとめて核子という）の質量をばらばらにして足した値よりも、わずかに小さくなっています。この差を質量欠損 $Δ m$ といいます。質量欠損から、原子核を核子にばらばらにするのに必要なエネルギー（結合エネルギー）を求めることができます。原子核の壊れにくさを比べる場面や、核反応で出入りするエネルギーを考える場面で使います。

なぜそうしてよいのか

アインシュタインの特殊相対性理論によると、質量とエネルギーは同じものの別の姿で、質量 $m$ はエネルギー $E = m c^{2}$ （ $c$ は真空中の光速）に相当します。原子核 $_{Z}^{A} X$ は、陽子 $Z$ 個と中性子 $N = A - Z$ 個が強い力で結びついたものです。これをばらばらの核子にするには、外からエネルギーを加えなければなりません。この必要なエネルギーを結合エネルギー $E$ といいます。加えたエネルギーは質量に変わるので、ばらばらの核子の質量の和は、もとの原子核の質量より大きくなります。その差が質量欠損であり、
$Δ m = Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - M, E = Δ m c^{2}$
となります（ $m_{p}$ ：陽子の質量、 $m_{n}$ ：中性子の質量、 $M$ ：原子核の質量）。逆に、核子が集まって原子核ができるときには、同じ大きさのエネルギー $E$ が外へ放出されます。

原子核の質量は、統一原子質量単位 $1 u = 1.66 \times 1 0^{- 27} kg$ で表すと扱いやすくなります。エネルギーの単位には電子ボルト（ $1 eV = 1.60 \times 1 0^{- 19} J$ 、 $1 MeV = 1 0^{6} eV$ ）を使います。 $1 u$ に相当するエネルギーを計算すると、 $(1.66 \times 1 0^{- 27}) \times (3.00 \times 1 0^{8})^{2} \approx 1.49 \times 1 0^{- 10} J$ です。これを eV に直すと約 $9.3 \times 1 0^{8} eV$ になります。より精密な値を使うと $1 u$ は $931 MeV$ に相当します。したがって、 $Δ m$ を u で表しておけば、931 MeV を掛けるだけで結合エネルギーが MeV で求まります。

核子の数が多い原子核ほど、結合エネルギーの合計も大きくなりがちです。そのため、原子核どうしの結びつきの強さを比べるときは、結合エネルギーを質量数 $A$ （核子の数）で割った「核子 1 個あたりの結合エネルギー $E / A$ 」を使います。この値が大きい原子核ほど安定です。

手順

$_{Z}^{A} X$ から、陽子の数 $Z$ と中性子の数 $N = A - Z$ を読み取る。
ばらばらの核子の質量の和 $Z m_{p} + N m_{n}$ を計算する。
原子核の質量 $M$ を引いて、質量欠損 $Δ m = Z m_{p} + N m_{n} - M$ を求める。
結合エネルギーを $E = Δ m c^{2}$ で求める。 $Δ m$ が u で表されていれば $E [MeV] = Δ m [u] \times 931$ とする。
核子 1 個あたりの結合エネルギーが必要なら、 $E$ を質量数 $A$ で割る（ $E / A$ ）。

例題

ヘリウム原子核 $_{2}^{4} He$ の質量を $4.0015 u$ 、陽子の質量を $1.0073 u$ 、中性子の質量を $1.0087 u$ とする。 $1 u$ の質量は $931 MeV$ のエネルギーに相当するものとする。 $_{2}^{4} He$ の核子 1 個あたりの結合エネルギーは何 MeV か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1： $_{2}^{4} He$ では $Z = 2$ 、 $A = 4$ なので、陽子は 2 個、中性子は $N = 4 - 2 = 2$ 個である。
手順2：ばらばらの核子の質量の和は $2 \times 1.0073 + 2 \times 1.0087 = 2.0146 + 2.0174 = 4.0320 u$ である。
手順3：質量欠損は $Δ m = 4.0320 - 4.0015 = 0.0305 u$ である。
手順4：結合エネルギーは $E = 0.0305 \times 931 = 28.3955 MeV$ である（約 $28 MeV$ ）。
手順5：核子の数は $A = 4$ なので、核子 1 個あたりの結合エネルギーは $\frac{28.3955}{4} \approx 7.10 MeV$ である。途中で丸めずに計算し、最後に有効数字 2 桁に丸めて $7.1 MeV$ となる。

答え: $7.1$

よくある誤り

核子 1 個あたりの結合エネルギーを、陽子の数 $Z$ で割って求めてしまう誤り。たとえば $_{2}^{4} He$ で $28.4/2 = 14.2 MeV$ とするのは誤りである。正しくは核子（陽子と中性子）の総数である質量数 $A$ で割り、 $28.4/4 \approx 7.1 MeV$ とする。
質量欠損を $M - (Z m_{p} + N m_{n})$ の順に引いて負の値にしてしまう誤り。原子核のほうが軽いので、正しくは $Δ m = Z m_{p} + N m_{n} - M > 0$ とする（例： $4.0320 - 4.0015 = 0.0305 u$ ）。
u で表した $Δ m$ に $c^{2} = (3.0 \times 1 0^{8})^{2}$ をそのまま掛けてしまう誤り。 $E = Δ m c^{2}$ を J で計算するなら、まず $Δ m$ を kg に直す（ $1 u = 1.66 \times 1 0^{- 27} kg$ ）。u のまま計算するなら、 $c^{2}$ ではなく $931 MeV$ を掛ける。
陽子と中性子を 1 個ずつしか数えなかったり、陽子の質量だけを $A$ 倍したりしてしまう誤り（例： $4 \times 1.0073$ ）。正しくは陽子 $Z$ 個と中性子 $A - Z$ 個を別々に数え、 $Z m_{p} + (A - Z) m_{n}$ とする。また、問題で与えられた質量が原子核ではなく原子（電子を含む）の質量のときは、陽子の代わりに水素原子の質量を使うと電子の質量が打ち消し合う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

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この技能の次に学べること

核反応と反応エネルギー（高校物理原子）
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