ワイツゼッカーの質量公式

体積項・表面項・クーロン項・対称項・対項からなる $B (A, Z) = a_{V} A - a_{S} A^{2/3} - a_{C} \frac{Z ( Z - 1 )}{A ^{1/3}} - a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A} + δ$ に値を代入して、結合エネルギーや鏡像核の結合エネルギーの差を計算できる

前提

指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
質量欠損と結合エネルギー（高校物理原子）

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算数中学高校大学大学院

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質量欠損と結合エネルギー（高校物理原子）

説明

原子核の結合エネルギー $B$ を、質量数 $A$ と陽子数 $Z$ だけから見積もる半経験的な式（ワイツゼッカーの質量公式）
$B (A, Z) = a_{V} A - a_{S} A^{2/3} - a_{C} \frac{Z ( Z - 1 )}{A ^{1/3}} - a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A} + δ$
を使えるようにします。係数 $a_{V}, a_{S}, a_{C}, a_{A}$ と対項 $δ$ の値を代入して結合エネルギーや核子 1 個あたりの結合エネルギーを計算し、また陽子数と中性子数を入れ替えた鏡像核どうしの結合エネルギーの差を求めます。質量表がない原子核の安定性や、核分裂で出るエネルギーの大まかな見積もりに使います。

なぜそうしてよいのか

原子核を「核子が詰まった液体のしずく」とみなし、結合エネルギーを効果の違ういくつかの項の和で表します。核力は近くの核子どうしにしかはたらかないので、内部の 1 個の核子が受ける結合はほぼ一定で、結合エネルギーはまず核子数に比例します（体積項 $a_{V} A$ ）。原子核の半径は $R = r_{0} A^{1/3}$ と表され（密度がほぼ一定なので体積 $\propto A$ ）、表面にある核子は相手が少ない分だけ結合が弱いので、表面積 $4 π R^{2} \propto A^{2/3}$ に比例して結合が減ります（表面項 $- a_{S} A^{2/3}$ ）。

陽子どうしは電気的に反発するので結合を弱めます。陽子の組は $Z (Z - 1) /2$ 組あり、1 組あたりの反発のエネルギーは距離のおよそ逆数、つまり $1/ R \propto A^{- 1/3}$ に比例するので、クーロン項は $- a_{C} \frac{Z ( Z - 1 )}{A ^{1/3}}$ となります（陽子 1 個だけなら反発はないので $Z^{2}$ ではなく $Z (Z - 1)$ ）。また、陽子と中性子はそれぞれパウリの排他原理に従ってエネルギーの低い準位から詰まるので、どちらか一方が多いと高い準位まで詰めなければならず損をします。その損は中性子と陽子の差 $N - Z = A - 2 Z$ の 2 乗に比例し、準位の間隔が $1/ A$ 程度なので $- a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A}$ となります（対称項）。

最後に、陽子・中性子はそれぞれ 2 個ずつ対を作ると安定になる性質があり、これを対項 $δ$ で表します。 $Z, N$ がともに偶数なら $δ > 0$ 、ともに奇数なら $δ < 0$ （同じ大きさで符号が逆）、 $A$ が奇数なら $δ = 0$ とします（大きさは $a_{P} / A^{1/2}$ の形で与えることが多い）。鏡像核とは $Z$ と $N$ を入れ替えた 2 つの核で、 $A$ が同じなので体積項・表面項は等しく、 $(A - 2 Z)^{2} = (N - Z)^{2}$ も等しく、対項も同じ（ $Z, N$ の偶奇の組が入れ替わるだけ）です。したがって鏡像核の結合エネルギーの差はクーロン項の差だけになります。クーロン項は $B$ から引かれる項なので、陽子の少ない核のほうが引かれる量が小さく、結合エネルギーが大きくなります。

手順

対象の原子核の $A$ と $Z$ を確認し、中性子数 $N = A - Z$ を求める。
$A^{1/3}$ と $A^{2/3} = (A^{1/3})^{2}$ を計算する。
各項を計算する: 体積項 $a_{V} A$ 、表面項 $a_{S} A^{2/3}$ 、クーロン項 $a_{C} \frac{Z ( Z - 1 )}{A ^{1/3}}$ 、対称項 $a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A}$ 。
$Z, N$ の偶奇で対項 $δ$ を決める（偶偶 $+$ 、奇奇 $-$ 、 $A$ 奇数で $0$ ）。
符号に注意して $B = a_{V} A - a_{S} A^{2/3} - a_{C} \frac{Z ( Z - 1 )}{A ^{1/3}} - a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A} + δ$ を組み立てる。核子 1 個あたりなら $B / A$ 。
鏡像核（質量数 $A$ 、陽子数 $Z_{1}, Z_{2}$ ）の差を求めるときは、打ち消し合う項を先に消し、クーロン項の差だけを計算する: $B_{1} - B_{2} = - a_{C} \frac{Z _{1} ( Z _{1} - 1 ) - Z _{2} ( Z _{2} - 1 )}{A ^{1/3}}$ 。クーロン項は $B$ から引かれるので、 $Z_{1} < Z_{2}$ なら $B_{1} - B_{2} > 0$ （ $Z$ が小さい核の $B$ のほうが大きい）。

例題

鏡像核 $_{7}^{15} N$ と $_{8}^{15} O$ について、ワイツゼッカーの質量公式 $B (A, Z) = a_{V} A - a_{S} A^{2/3} - a_{C} \frac{Z ( Z - 1 )}{A ^{1/3}} - a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A} + δ$ （ $A$ が奇数のとき $δ = 0$ ）を用いて、結合エネルギーの差 $B (^{15} N) - B (^{15} O)$ を MeV 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし $a_{C} = 0.71 MeV$ とする。

例題の解答

（手順 1） $^{15} N$ : $A = 15$ , $Z_{1} = 7$ , $N = 8$ 。 $^{15} O$ : $A = 15$ , $Z_{2} = 8$ , $N = 7$ 。

（手順 2） $1 5^{1/3} \approx 2.466$ （ $2.46 6^{3} \approx 15.00$ ）。

（手順 3） $A$ が等しいので体積項 $a_{V} A$ ・表面項 $a_{S} A^{2/3}$ は 2 つの核で等しい。対称項は $^{15} N$ で $a_{A} (15 - 14)^{2} /15 = a_{A} /15$ 、 $^{15} O$ で $a_{A} (15 - 16)^{2} /15 = a_{A} /15$ と等しい。クーロン項は $^{15} N$ で $a_{C} \frac{7 \cdot 6}{1 5 ^{1/3}} = \frac{42 a _{C}}{1 5 ^{1/3}}$ 、 $^{15} O$ で $a_{C} \frac{8 \cdot 7}{1 5 ^{1/3}} = \frac{56 a _{C}}{1 5 ^{1/3}}$ 。

（手順 4） $A = 15$ が奇数なので、対項はどちらも $δ = 0$ 。

（手順 5）それぞれの $B$ を組み立てると、クーロン項以外は共通な量 $C = a_{V} \cdot 15 - a_{S} \cdot 1 5^{2/3} - a_{A} /15$ を使って
$B (^{15} N) = C - \frac{42 a _{C}}{1 5 ^{1/3}}, B (^{15} O) = C - \frac{56 a _{C}}{1 5 ^{1/3}} .$

（手順 6）差をとると共通な項 $C$ は打ち消し合い、
$B (^{15} N) - B (^{15} O) = - a_{C} \frac{7 \cdot 6 - 8 \cdot 7}{1 5 ^{1/3}} = \frac{14 a _{C}}{1 5 ^{1/3}} = \frac{14 \times 0.71}{2.466} = \frac{9.94}{2.466} \approx 4.03 MeV .$
差は正で、陽子の少ない $^{15} N$ のほうが結合エネルギーが大きい。陽子が 1 個多い $^{15} O$ はクーロン反発の分だけ結合が弱い。

答え: $4.03$

よくある誤り

表面項の $A^{2/3}$ やクーロン項の $A^{1/3}$ を $A$ のまま、または $A^{3/2}$ などとしてしまう誤り。正しくは $R \propto A^{1/3}$ から表面積 $\propto A^{2/3}$ 、クーロン項は $1/ R \propto A^{- 1/3}$ 。例: $A = 27$ なら $A^{1/3} = 3$ , $A^{2/3} = 9$ 。
クーロン項の $Z (Z - 1)$ を $Z^{2}$ としてしまう誤り（例題で $a_{C} (64 - 49) /1 5^{1/3} \approx 4.32 MeV$ になる）。正しくは $Z (Z - 1)$ で、差は $8 \cdot 7 - 7 \cdot 6 = 14$ を使って $4.03 MeV$ 。
鏡像核の差でクーロン項の符号を逆にし、 $B_{1} - B_{2} = + a_{C} \frac{Z _{1} ( Z _{1} - 1 ) - Z _{2} ( Z _{2} - 1 )}{A ^{1/3}}$ としてしまう誤り（例題で $- 4.03 MeV$ になる）。正しくはクーロン項は $B$ から引かれるので $B_{1} - B_{2} = - a_{C} \frac{Z _{1} ( Z _{1} - 1 ) - Z _{2} ( Z _{2} - 1 )}{A ^{1/3}}$ で、 $Z$ の小さい核の $B$ のほうが大きい。
対項の符号を逆にしてしまう誤り（偶偶核で $δ < 0$ とする）。正しくは、対を作ると安定になるので偶偶核で $δ > 0$ （結合エネルギーが増える）、奇奇核で $δ < 0$ 、 $A$ が奇数で $δ = 0$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量数 $A$ 、陽子数 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、ワイツゼッカーの質量公式
$B (A, Z) = a_{V} A - a_{S} A^{2/3} - a_{C} \frac{Z ( Z - 1 )}{A ^{1/3}} - a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A} + δ$
で表す。ここで $a_{V}, a_{S}, a_{C}, a_{A}$ は正の定数であり、対項 $δ$ は $A$ が奇数の原子核では $δ = 0$ である。
互いに鏡像核である $_{13}^{27} Al$ と $_{14}^{27} Si$ について、結合エネルギーの差 $B (27, 13) - B (27, 14)$ は何 MeV か。 $a_{C} = 0.69 MeV$ として、小数第 2 位まで求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

同重体の安定性とベータ崩壊（大学物理原子核・素粒子）
液滴模型のクーロンエネルギーと変形の安定性（大学物理原子核・素粒子）