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原子核・素粒子の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理原子核・素粒子

質量数 $A$ 、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、半経験的質量公式
$B (A, Z) = a_{V} A - a_{S} A^{2/3} - a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} - a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A}$
で表す。ここで $a_{V}, a_{S}, a_{C}, a_{A}$ は正の定数であり、対エネルギーの項は無視する。

$A, Z$ がともに偶数の原子核 $(A, Z)$ が、2 つの同じ原子核 $(A /2, Z /2)$ に分裂する対称核分裂を考える。この分裂で放出されるエネルギー
$Q = 2 B (\frac{A}{2}, \frac{Z}{2}) - B (A, Z)$
が正になるための条件は、 $\frac{Z ^{2}}{A}$ がある値 $x_{0}$ より大きいことである。 $x_{0}$ を $a_{S}, a_{C}$ を用いて表せ。ただし、 $A, Z$ は連続な正の量として扱ってよい。

この問題で使うもの

液滴模型のクーロンエネルギーと変形の安定性（説明と入口の問題）
ワイツゼッカーの質量公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（115 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$Q$ を項ごとに計算しよう。体積項と非対称項は、分裂の前後で変わらないことを確かめよう。

ヒント 2

表面項の変化は $- a_{S} A^{2/3} (2^{1/3} - 1)$ 、クーロン項の変化は $a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} (1 - 2^{- 2/3})$ になる。

ヒント 3

$Q > 0$ を $\frac{Z ^{2}}{A} > \frac{a _{S}}{a _{C}} \cdot \frac{2 ^{1/3} - 1}{1 - 2 ^{- 2/3}}$ と変形したら、右辺の係数を $2^{2/3} - 1 = (2^{1/3} - 1) (2^{1/3} + 1)$ を使って簡単にしよう。

答えと解説

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\frac{2 ^{2/3}}{2 ^{1/3} + 1} \cdot \frac{a _{S}}{a _{C}}

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解説を読む

各項ごとに、分裂後の 2 つの原子核の和から分裂前を引く。

体積項： $2 a_{V} \cdot \frac{A}{2} - a_{V} A = 0$ 。核子の数が変わらないので打ち消し合う。

非対称項：分裂後の 1 つの原子核では $\frac{A}{2} - 2 \cdot \frac{Z}{2} = \frac{A - 2 Z}{2}$ なので
$- 2 a_{A} \frac{( \frac{A - 2 Z}{2} ) ^{2}}{A /2} = - a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A}$
となり、分裂前と同じだから打ち消し合う。

表面項：
$- 2 a_{S} (\frac{A}{2})^{2/3} + a_{S} A^{2/3} = - a_{S} A^{2/3} (2^{1/3} - 1)$
表面積の合計が増えるので $Q$ を減らす向きに働く。

クーロン項：
$- 2 a_{C} \frac{( Z /2 ) ^{2}}{( A /2 ) ^{1/3}} + a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} = a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} (1 - 2^{- 2/3})$
陽子どうしの距離が平均的に離れて斥力のエネルギーが減るので $Q$ を増やす向きに働く。

よって
$Q = a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} (1 - 2^{- 2/3}) - a_{S} A^{2/3} (2^{1/3} - 1)$
$Q > 0$ の両辺を正の量 $a_{C} A^{2/3} (1 - 2^{- 2/3})$ で割ると
$\frac{Z ^{2}}{A} > \frac{a _{S}}{a _{C}} \cdot \frac{2 ^{1/3} - 1}{1 - 2 ^{- 2/3}}$
右辺の係数を整理する。分母・分子に $2^{2/3}$ を掛けると
$\frac{2 ^{1/3} - 1}{1 - 2 ^{- 2/3}} = \frac{2 ^{2/3} ( 2 ^{1/3} - 1 )}{2 ^{2/3} - 1} = \frac{2 ^{2/3} ( 2 ^{1/3} - 1 )}{( 2 ^{1/3} - 1 ) ( 2 ^{1/3} + 1 )} = \frac{2 ^{2/3}}{2 ^{1/3} + 1}$
したがって
$x_{0} = \frac{2 ^{2/3}}{2 ^{1/3} + 1} \cdot \frac{a _{S}}{a _{C}}$

（参考： $a_{S} \approx 17.8 MeV$ , $a_{C} \approx 0.71 MeV$ とすると $x_{0} \approx 17.6$ である。）

別解

体積項: $2 a_{V} \frac{A}{2} = a_{V} A$ で $B (A, Z)$ の体積項と打ち消す。対称項: $2 a_{A} \frac{( A /2 - Z ) ^{2}}{A /2} = a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A}$ で同じく打ち消す。表面項: $2 a_{S} (A /2)^{2/3} = 2^{1/3} a_{S} A^{2/3}$ 。クーロン項: $2 a_{C} \frac{( Z /2 ) ^{2}}{( A /2 ) ^{1/3}} = 2^{- 2/3} a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}}$ 。よって
$Q = - 2^{1/3} a_{S} A^{2/3} - 2^{- 2/3} a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} \cdot (- 1) の符号に注意して Q = (1 - 2^{1/3}) a_{S} A^{2/3} + (1 - 2^{- 2/3}) a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} .$
( $B$ では表面・クーロンが負符号なので、 $2 B (A /2, Z /2) - B (A, Z)$ の表面項は $- 2^{1/3} a_{S} A^{2/3} + a_{S} A^{2/3}$ 、クーロン項は $- 2^{- 2/3} a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} + a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}}$ 。)
$Q > 0$ の条件を $A^{2/3}$ で割ると $(1 - 2^{- 2/3}) a_{C} \frac{Z ^{2}}{A} > (2^{1/3} - 1) a_{S}$ 。 $u = 2^{1/3}$ とおくと $1 - u^{- 2} = \frac{( u - 1 ) ( u + 1 )}{u ^{2}}$ なので
$\frac{Z ^{2}}{A} > \frac{( u - 1 ) a _{S}}{a _{C} ( u - 1 ) ( u + 1 ) / u ^{2}} = \frac{2 ^{2/3}}{2 ^{1/3} + 1} \frac{a _{S}}{a _{C}} .$
検算: $u \approx 1.2599$ で $(u - 1) / (1 - u^{- 2}) = 0.2599/0.3700 = 0.7024$ 、 $2^{2/3} / (2^{1/3} + 1) = 1.5874/2.2599 = 0.7024$ で一致する。

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