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原子核・素粒子の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理原子核・素粒子

質量数 $A$ 、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、簡単化した半経験的質量公式
$B (A, Z) = a_{V} A - a_{S} A^{2/3} - a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} - a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A}$
で表す（ $a_{V}, a_{S}, a_{C}, a_{A}$ は正の定数で、対エネルギーの項は考えない）。 $A, Z$ はともに正の偶数とし、 $A, Z$ を連続変数のように扱ってよいものとする。

原子核 $(A, Z)$ が、質量数 $\frac{A}{2}$ 、原子番号 $\frac{Z}{2}$ の 2 つの同じ原子核に分裂する対称核分裂を考える。この分裂で放出されるエネルギー
$Q = 2 B (\frac{A}{2}, \frac{Z}{2}) - B (A, Z)$
が正になるための条件は、 $\frac{Z ^{2}}{A}$ がある値 $x_{0}$ より大きいことである。 $x_{0}$ を $a_{S}, a_{C}$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

液滴模型のクーロンエネルギーと変形の安定性（説明と入口の問題）
ワイツゼッカーの質量公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（115 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$2 B (A /2, Z /2)$ を各項ごとに計算し、 $B (A, Z)$ と比べよう。変化しない項がある。

ヒント 2

体積項と非対称項は分裂の前後で等しい。表面項は $2^{1/3}$ 倍、クーロン項は $2^{- 2/3}$ 倍になる。

ヒント 3

$Q = - (2^{1/3} - 1) a_{S} A^{2/3} + (1 - 2^{- 2/3}) a_{C} Z^{2} A^{- 1/3}$ 。 $Q > 0$ を $Z^{2} / A$ について解く。

答えと解説

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\frac{2 ^{2/3}}{2 ^{1/3} + 1} \cdot \frac{a _{S}}{a _{C}}

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各項ごとに $2 B (A /2, Z /2)$ と $B (A, Z)$ を比べる。

体積項: $2 a_{V} \cdot \frac{A}{2} = a_{V} A$ で、変化しない。

非対称項: $2 a_{A} \frac{( A /2 - Z ) ^{2}}{A /2} = 2 a_{A} \cdot \frac{( A - 2 Z ) ^{2} /4}{A /2} = a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A}$ で、変化しない。

表面項: $2 a_{S} (\frac{A}{2})^{2/3} = 2^{1/3} a_{S} A^{2/3}$ 。

クーロン項: $2 a_{C} \frac{( Z /2 ) ^{2}}{( A /2 ) ^{1/3}} = 2^{- 2/3} a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}}$ 。

したがって
$Q = - (2^{1/3} - 1) a_{S} A^{2/3} + (1 - 2^{- 2/3}) a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} .$
分裂すると表面積が増えて表面エネルギーの損が生じ、陽子どうしが離れてクーロンエネルギーが得になる。

$Q > 0$ の条件は、両辺を正の数 $A^{2/3}$ で割って
$(1 - 2^{- 2/3}) a_{C} \frac{Z ^{2}}{A} > (2^{1/3} - 1) a_{S}$
$\frac{Z ^{2}}{A} > \frac{2 ^{1/3} - 1}{1 - 2 ^{- 2/3}} \cdot \frac{a _{S}}{a _{C}} .$
係数を整理すると、分子・分母に $2^{2/3}$ を掛けて
$\frac{2 ^{1/3} - 1}{1 - 2 ^{- 2/3}} = \frac{2 ^{2/3} ( 2 ^{1/3} - 1 )}{2 ^{2/3} - 1} = \frac{2 ^{2/3} ( 2 ^{1/3} - 1 )}{( 2 ^{1/3} - 1 ) ( 2 ^{1/3} + 1 )} = \frac{2 ^{2/3}}{2 ^{1/3} + 1} .$
よって
$x_{0} = \frac{2 ^{2/3}}{2 ^{1/3} + 1} \cdot \frac{a _{S}}{a _{C}} (\approx 0.702 \frac{a _{S}}{a _{C}}) .$

別解

$Q = 2 B (A /2, Z /2) - B (A, Z)$ を各項について計算する。

体積項: $2 a_{V} \frac{A}{2} - a_{V} A = 0$ 。
非対称項: $2 a_{A} \frac{( A /2 - Z ) ^{2}}{A /2} = a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A}$ となり $B (A, Z)$ の項と同じなので差は 0。
表面項: $- a_{S} [2 (\frac{A}{2})^{2/3} - A^{2/3}] = - a_{S} A^{2/3} (2^{1/3} - 1)$ 。
クーロン項: $- a_{C} [2 \frac{( Z /2 ) ^{2}}{( A /2 ) ^{1/3}} - \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}}] = - a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} (2^{- 2/3} - 1) = a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} (1 - 2^{- 2/3})$ 。

よって $Q = a_{C} (1 - 2^{- 2/3}) \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}} - a_{S} (2^{1/3} - 1) A^{2/3}$ 。
$Q > 0 ⟺ \frac{Z ^{2}}{A} > \frac{a _{S} ( 2 ^{1/3} - 1 )}{a _{C} ( 1 - 2 ^{- 2/3} )} = x_{0}$ （ $A^{2/3} \cdot A^{1/3} = A$ で割った）。

整理: $u = 2^{1/3}$ とすると $1 - 2^{- 2/3} = \frac{u ^{2} - 1}{u ^{2}}$ なので
$x_{0} = \frac{a _{S}}{a _{C}} \cdot \frac{( u - 1 ) u ^{2}}{u ^{2} - 1} = \frac{a _{S}}{a _{C}} \cdot \frac{u ^{2}}{u + 1} = \frac{a _{S}}{a _{C}} \cdot \frac{2 ^{2/3}}{2 ^{1/3} + 1} \approx 0.7024 \frac{a _{S}}{a _{C}}$ 。

検算: $(2^{1/3} - 1) / (1 - 2^{- 2/3}) = 0.2599/0.3700 = 0.7024$ 、 $2^{2/3} / (2^{1/3} + 1) = 1.5874/2.2599 = 0.7024$ 。

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