原子核・素粒子の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理原子核・素粒子

質量数 $A$ 、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギー $B (A, Z)$ を、半経験的質量公式
$B (A, Z) = a_{V} A - a_{S} A^{2/3} - a_{C} \frac{Z ( Z - 1 )}{A ^{1/3}} - a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A} + δ (A, Z)$
で表す。 $a_{V}, a_{S}, a_{A}$ は正の定数、 $a_{C} = 0.711 MeV$ であり、対エネルギー項 $δ (A, Z)$ は $A$ が奇数のとき $0$ とする。

陽子数と中性子数を入れかえた関係にある奇数 $A = 2 Z + 1$ （ $Z$ は正の整数）の鏡映核の組を考える。陽子数 $Z + 1$ ・中性子数 $Z$ の原子核（親核）が、陽子数 $Z$ ・中性子数 $Z + 1$ の原子核（娘核）へ $β^{+}$ 崩壊
$^{A} (Z + 1) \to^{A} Z + e^{+} + ν_{e}$
を起こすことがエネルギー的に可能である（崩壊の $Q$ 値が正である）ような $A$ のうち、最小のものを求めよ。

ただし、原子核の質量は $M (A, Z) = Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - B (A, Z) / c^{2}$ で与えられるとし、 $m_{p} c^{2} = 938.272 MeV$ 、 $m_{n} c^{2} = 939.565 MeV$ 、 $m_{e} c^{2} = 0.511 MeV$ 、ニュートリノの質量は $0$ とする。結合エネルギーは上の質量公式の値そのものを用いるものとする。

この問題で使うもの

ワイツゼッカーの質量公式（説明と入口の問題）
同重体の安定性とベータ崩壊（説明と入口の問題）
結合エネルギーと核反応の Q 値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

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ヒント

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ヒント 1

親核と娘核で質量数 $A$ が同じであることに注目し、 $Q$ 値を結合エネルギーの差と核子・電子の質量で表しましょう。

ヒント 2

$Q = (m_{p} - m_{n} - m_{e}) c^{2} + B (A, Z) - B (A, Z + 1)$ です。鏡映核の組では $(A - 2 Z)^{2}$ が親核と娘核で等しくなることを確かめましょう。

ヒント 3

結合エネルギーの差はクーロン項だけが残り、 $a_{C} (A - 1) / A^{1/3}$ になります。これが $1.804 MeV$ を超える最小の奇数 $A$ を探します。

答えと解説

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7

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解説を読む

$Q$ 値の式

$β^{+}$ 崩壊の $Q$ 値は、崩壊前後の静止エネルギーの差（エネルギー保存則による。ニュートリノの質量は $0$ ）で
$Q = [M (A, Z + 1) - M (A, Z) - m_{e}] c^{2}$
である。 $M (A, Z) = Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - B (A, Z) / c^{2}$ を代入すると
$M (A, Z + 1) - M (A, Z) = m_{p} - m_{n} - \frac{B ( A , Z + 1 ) - B ( A , Z )}{c ^{2}}$
より
$Q = (m_{p} - m_{n} - m_{e}) c^{2} + B (A, Z) - B (A, Z + 1) .$

結合エネルギーの差

$A$ が共通なので、体積項 $a_{V} A$ と表面項 $a_{S} A^{2/3}$ は打ち消し合う。

非対称項：娘核では $A - 2 Z = 1$ 、親核では $A - 2 (Z + 1) = - 1$ で、2 乗はどちらも $1$ だから打ち消し合う。

対エネルギー項： $A$ は奇数なので両方 $0$ 。

クーロン項だけが残り、
$B (A, Z) - B (A, Z + 1) = \frac{a _{C}}{A ^{1/3}} [(Z + 1) Z - Z (Z - 1)] = \frac{2 Z a _{C}}{A ^{1/3}} = a_{C} \frac{A - 1}{A ^{1/3}}$
（ $2 Z = A - 1$ を用いた）。

条件

$(m_{p} - m_{n} - m_{e}) c^{2} = 938.272 - 939.565 - 0.511 = - 1.804 MeV$ なので
$Q = 0.711 \frac{A - 1}{A ^{1/3}} - 1.804 [MeV] .$
$Q > 0$ の条件は
$f (A) = \frac{A - 1}{A ^{1/3}} > \frac{1.804}{0.711} \approx 2.537.$
$f (A) = A^{2/3} - A^{- 1/3}$ は $A > 0$ で単調増加である。 $A = 2 Z + 1$ で $Z \geq 1$ だから $A$ は 3 以上の奇数で、
- $A = 3$ ： $f = 2/1.442 \approx 1.387$
- $A = 5$ ： $f = 4/1.710 \approx 2.339 < 2.537$
- $A = 7$ ： $f = 6/1.913 \approx 3.137 > 2.537$

よって $Q > 0$ となる最小の $A$ は $7$ である（このとき $Q \approx 0.711 \times 3.137 - 1.804 \approx 0.43 MeV$ ）。

別解

核質量 $M (A, Z)$ を用いると、 $β^{+}$ 崩壊の $Q$ 値は
$Q = [M (A, Z + 1) - M (A, Z) - m_{e}] c^{2}$
である。これに $M (A, Z) = Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - B (A, Z) / c^{2}$ を代入する。
$Q = (m_{p} - m_{n}) c^{2} - m_{e} c^{2} + B (A, Z) - B (A, Z + 1) = - 1.293 - 0.511 + B (A, Z) - B (A, Z + 1) = - 1.804 + B (A, Z) - B (A, Z + 1) MeV$

$B (A, Z) - B (A, Z + 1)$ を項ごとに調べる。ここで $A = 2 Z + 1$ である。
- 体積項と表面項は $A$ だけで決まるので差は 0。
- 対エネルギー項は $A$ が奇数なので 0。
- 非対称項は、 $Z$ では $(A - 2 Z)^{2} = 1$ 、 $Z + 1$ では $(A - 2 Z - 2)^{2} = (- 1)^{2} = 1$ となり、差は 0。
- クーロン項の差は $- a_{C} [Z (Z - 1) - (Z + 1) Z] / A^{1/3} = 2 Z a_{C} / A^{1/3} = (A - 1) a_{C} / A^{1/3}$ 。

よって $Q = 0.711 (A - 1) / A^{1/3} - 1.804$ となる。 $Q > 0$ の条件は
$\frac{A - 1}{A ^{1/3}} > \frac{1.804}{0.711} = 2.537$

奇数 $A$ について左辺の値を調べる。
- $A = 3$ : $2/1.442 = 1.387$ （不適）
- $A = 5$ : $4/1.710 = 2.339$ （不適。 $Q = 1.663 - 1.804 < 0$ ）
- $A = 7$ : $6/1.913 = 3.136$ （適する。 $Q = 2.230 - 1.804 = 0.426 > 0$ MeV）

左辺は $A$ とともに増加するので、最小の $A$ は 7（ $Z = 3$ 、親核は陽子数 4 の核）である。

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