同重体の安定性とベータ崩壊

$A$ を固定して原子の質量 $M (A, Z)$ を $Z$ の 2 次式とみなし、 $\frac{\partial M}{\partial Z} = 0$ から最も安定な $Z_{0}$ を求め、隣りあう同重体の間の $β^{\pm}$ 崩壊の可否を判定できる

前提

ワイツゼッカーの質量公式（大学物理原子核・素粒子）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
結合エネルギーと核反応の Q 値（大学物理原子核・素粒子）

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算数中学高校大学大学院

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平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
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結合エネルギーと核反応の Q 値（大学物理原子核・素粒子）

説明

質量数 $A$ が同じで原子番号 $Z$ が異なる原子核（同重体）のうち、どれが最も安定で、ほかのものがベータ崩壊でどちらへ移っていくかを、ワイツゼッカーの質量公式から判定する技能です。 $A$ を固定すると原子の質量 $M (A, Z)$ は $Z$ の 2 次式になるので、その放物線の頂点 $Z_{0}$ （ $Z$ で微分して 0 とおく $\frac{\partial M}{\partial Z} = 0$ と同じ）が最も安定な $Z$ の目安になります。隣りあう同重体の質量を比べれば、 $β^{-}$ 崩壊・ $β^{+}$ 崩壊・電子捕獲が起こりうるかどうかも決められます。

なぜそうしてよいのか

中性原子の質量は、陽子と電子を合わせた水素原子 $Z$ 個と中性子 $A - Z$ 個の質量から、結合エネルギーを引いたものです： $M (A, Z) c^{2} = Z m_{H} c^{2} + (A - Z) m_{n} c^{2} - B (A, Z)$ （電子の結合エネルギーは無視）。ここに質量公式を入れると、 $A$ を固定したとき $Z$ に依存するのは $Z (m_{H} - m_{n}) c^{2}$ 、クーロン項 $a_{C} \frac{Z ^{2} - Z}{A ^{1/3}}$ 、対称項 $a_{A} \frac{A ^{2} - 4 A Z + 4 Z ^{2}}{A}$ で、 $δ$ を除けば
$M (A, Z) c^{2} = α Z^{2} - β Z + (Z によらない定数), α = \frac{a _{C}}{A ^{1/3}} + \frac{4 a _{A}}{A}, β = 4 a_{A} + \frac{a _{C}}{A ^{1/3}} + (m_{n} - m_{H}) c^{2}$
という下に凸な放物線になります。平方完成すると頂点は
$Z_{0} = \frac{β}{2 α} = \frac{4 a _{A} + \frac{a _{C}}{A ^{1/3}} + ( m _{n} - m _{H} ) c ^{2}}{2 ( \frac{a _{C}}{A ^{1/3}} + \frac{4 a _{A}}{A} )}$
です。対称項だけなら $Z_{0} = \frac{A}{2}$ ですが、クーロン反発が陽子を減らす向きにはたらくので、重い核ほど $Z_{0} < \frac{A}{2}$ になります。

ベータ崩壊は $A$ を変えずに $Z$ を 1 つ変える変化なので、同重体の放物線の上を 1 段ずつ動きます。質量の大きい方から小さい方へしか自発的に移れないので、放物線を底へ向かって下りていき、 $Z_{0}$ に最も近い整数の核が（ $A$ が奇数なら）唯一の安定な同重体になります。原子の質量で書くと、 $β^{-}$ 崩壊（ $n \to p + e^{-} + ν ˉ$ ）は $M (A, Z) > M (A, Z + 1)$ 、電子捕獲は $M (A, Z) > M (A, Z - 1)$ のとき起こりえます。 $β^{+}$ 崩壊では、核の電荷が 1 減って原子の電子が 1 個余るうえに陽電子も 1 個できるので、 $M (A, Z) - M (A, Z - 1) > \frac{2 m _{e} c ^{2}}{c ^{2}}$ 、つまり質量差のエネルギーが $2 m_{e} c^{2} \approx 1.022 MeV$ を超える必要があります。

$A$ が偶数のときは対項 $δ$ が効き、陽子・中性子がともに偶数の核（偶偶核）は放物線が $δ$ だけ下に、ともに奇数の核（奇奇核）は $δ$ だけ上にずれて、2 本の放物線になります。このため、偶数の $A$ では安定な同重体が 2 つ以上ある場合があります。

手順

$M (A, Z) c^{2} = Z m_{H} c^{2} + (A - Z) m_{n} c^{2} - B (A, Z)$ に質量公式を入れ、 $A$ を固定して $Z$ の 2 次式 $α Z^{2} - β Z + (定数)$ に整理する（ $A$ が奇数なら $δ = 0$ ）
平方完成（または $Z$ で微分して 0 とおく）して頂点 $Z_{0} = \frac{β}{2 α}$ を求める
$A$ が奇数なら、 $Z_{0}$ に最も近い整数を最も安定な原子番号とする
隣りあう同重体の質量差を比べ、 $M (A, Z) > M (A, Z + 1)$ なら $β^{-}$ 崩壊、 $M (A, Z) > M (A, Z - 1)$ なら電子捕獲、さらに差が $2 m_{e} c^{2}$ を超えれば $β^{+}$ 崩壊も可能と判定する
$A$ が偶数なら、偶偶核と奇奇核で放物線が $\pm δ$ だけずれることを考慮する

例題

質量数 $A = 27$ の同重体を考える。質量公式の係数を $a_{C} = 0.70 MeV$ , $a_{A} = 23.0 MeV$ 、中性子と水素原子の静止エネルギーの差を $(m_{n} - m_{H}) c^{2} = 0.78 MeV$ とし、 $A$ が奇数なので対項は 0 とする。原子の質量 $M (27, Z)$ を $Z$ の 2 次式とみなしたとき、 $A = 27$ の同重体のうち最も安定な原子核の原子番号 $Z$ （整数）を求めよ。

例題の解答

手順 1： $A^{1/3} = 3$ なので
$α = \frac{a _{C}}{A ^{1/3}} + \frac{4 a _{A}}{A} = \frac{0.70}{3} + \frac{92.0}{27} \approx 0.2333 + 3.4074 = 3.6407 MeV$
$β = 4 a_{A} + \frac{a _{C}}{A ^{1/3}} + (m_{n} - m_{H}) c^{2} = 92.0 + 0.2333 + 0.78 = 93.013 MeV$
で、 $M (27, Z) c^{2} = α Z^{2} - β Z + (定数)$ 。

手順 2：頂点は
$Z_{0} = \frac{β}{2 α} = \frac{93.013}{7.2815} \approx 12.77$

手順 3： $A = 27$ は奇数なので放物線は 1 本で、頂点に最も近い整数 $Z = 13$ の核（ $^{27} Al$ ）が最も安定である。

（手順 4 の例： $Z = 12$ の $^{27} Mg$ は $M (27, 12) > M (27, 13)$ なので $β^{-}$ 崩壊して $^{27} Al$ になる。）

答え: $13$

よくある誤り

結合エネルギー $B$ を $Z$ の 2 次式とみて、その最小を探してしまう誤り。安定なのは質量 $M$ が最小、つまり $B$ が（ $Z (m_{H} - m_{n}) c^{2}$ を含めて）最大の核で、正しくは $M (A, Z) c^{2} = Z m_{H} c^{2} + (A - Z) m_{n} c^{2} - B$ の最小を求める
$β^{+}$ 崩壊の条件を $M (A, Z) > M (A, Z - 1)$ だけでよいとする誤り。原子の質量で比べると陽電子と余った電子の分が必要で、正しくは $(M (A, Z) - M (A, Z - 1)) c^{2} > 2 m_{e} c^{2} \approx 1.022 MeV$ 。差がそれより小さいときは電子捕獲だけが起こりうる
クーロン項の $Z (Z - 1)$ を展開したときの 1 次の項 $- \frac{a _{C}}{A ^{1/3}} Z$ や $(m_{n} - m_{H}) c^{2}$ の項を落とし、 $Z_{0} = \frac{4 a _{A}}{2 α}$ としてしまう誤り。上の例ではそれぞれの寄与は小さいが、正しくは $β = 4 a_{A} + \frac{a _{C}}{A ^{1/3}} + (m_{n} - m_{H}) c^{2}$
$A$ が偶数のときも放物線 1 本で考え、安定な同重体は 1 つだけと決めつける誤り。偶数の $A$ では偶偶核の放物線が奇奇核より $2 δ$ 低く、正しくは 2 本の放物線を比べるので、安定な偶偶核が 2 つ存在することもある

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量数 $A = 63$ の同重体（質量数が同じで原子番号 $Z$ が異なる原子）を考える。 $A$ を固定すると、原子の質量エネルギーは $Z$ の 2 次式として
$M (Z) c^{2} = M_{0} c^{2} - 35.04 Z + 0.60 Z^{2} [MeV]$
と近似できるものとする（ $M_{0} c^{2}$ は $Z$ によらない定数）。ここで $Z$ は正の整数である。原子の質量が小さい同重体ほど安定であり、隣りあう同重体の間では、原子の質量が大きいほうから小さいほうへ $β^{-}$ 崩壊または電子捕獲（ $β^{+}$ 崩壊を含む）が起こりうるものとする。
$A = 63$ の同重体のうち、ベータ崩壊に対して安定なもの（最も原子の質量が小さいもの）の原子番号 $Z$ を求めよ。

同重体の安定性とベータ崩壊

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題