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原子核・素粒子の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理原子核・素粒子

質量数 $A$ 、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、ワイツゼッカーの半経験的質量公式
$B (A, Z) = a_{V} A - a_{S} A^{2/3} - a_{C} \frac{Z ( Z - 1 )}{A ^{1/3}} - a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A}$
で表す（ $a_{V}, a_{S}, a_{C}, a_{A}$ は正の定数）。 $A$ は奇数とし、対エネルギーの項は考えない。中性原子の質量は
$M (A, Z) c^{2} = Z m_{H} c^{2} + (A - Z) m_{n} c^{2} - B (A, Z)$
で与えられるとする（ $m_{H}$ は水素原子の質量、 $m_{n}$ は中性子の質量。電子の結合エネルギーは無視する）。

$Δ = (m_{n} - m_{H}) c^{2}$ （ $Δ > 0$ ）とおく。 $A$ を固定し $Z$ を連続変数とみなしたとき、 $M (A, Z)$ を最小にする（同重体の中で最も安定な） $Z$ の値 $Z_{0}$ を、 $A, a_{C}, a_{A}, Δ$ を用いて求めよ。

この問題で使うもの

同重体の安定性とベータ崩壊（説明と入口の問題）
ワイツゼッカーの質量公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$A$ を固定すると、体積項と表面項は $Z$ によらない。 $M (A, Z) c^{2}$ を $Z$ で微分して $0$ とおこう。

ヒント 2

$\partial B / \partial Z = - a_{C} (2 Z - 1) / A^{1/3} + 4 a_{A} (A - 2 Z) / A$ であり、質量の部分からは $- (m_{n} - m_{H}) c^{2} = - Δ$ が出る。

ヒント 3

$- Δ + a_{C} (2 Z - 1) / A^{1/3} - 4 a_{A} (A - 2 Z) / A = 0$ を $Z$ についての 1 次方程式として解き、分母分子に $A$ をかけて整理する。

答えと解説

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\frac{A ( 4 a _{A} + Δ + a _{C} A ^{- 1/3} )}{8 a _{A} + 2 a _{C} A ^{2/3}}

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解説を読む

$A$ を固定すると、 $Z$ に依存するのは $Z m_{H} c^{2} + (A - Z) m_{n} c^{2}$ と、 $B$ のクーロン項・対称エネルギー項である。 $Z$ で微分すると
$\frac{\partial ( M c ^{2} )}{\partial Z} = m_{H} c^{2} - m_{n} c^{2} - \frac{\partial B}{\partial Z}$
ここで
$\frac{\partial B}{\partial Z} = - a_{C} \frac{2 Z - 1}{A ^{1/3}} - a_{A} \frac{2 ( A - 2 Z ) \cdot ( - 2 )}{A} = - a_{C} \frac{2 Z - 1}{A ^{1/3}} + \frac{4 a _{A} ( A - 2 Z )}{A}$
なので
$\frac{\partial ( M c ^{2} )}{\partial Z} = - Δ + a_{C} \frac{2 Z - 1}{A ^{1/3}} - \frac{4 a _{A} ( A - 2 Z )}{A}$
となる。また
$\frac{\partial ^{2} ( M c ^{2} )}{\partial Z ^{2}} = \frac{2 a _{C}}{A ^{1/3}} + \frac{8 a _{A}}{A} > 0$
なので、1 階微分が $0$ になる点が最小点である。

$\frac{\partial ( M c ^{2} )}{\partial Z} = 0$ を $Z$ について解くと
$Z (\frac{2 a _{C}}{A ^{1/3}} + \frac{8 a _{A}}{A}) = Δ + \frac{a _{C}}{A ^{1/3}} + 4 a_{A}$
両辺に $A$ をかけて整理すると（ $A / A^{1/3} = A^{2/3}$ ）
$Z_{0} = \frac{A ( 4 a _{A} + Δ + a _{C} A ^{- 1/3} )}{8 a _{A} + 2 a _{C} A ^{2/3}}$
を得る。

（参考） $Δ$ と $a_{C} A^{- 1/3}$ を $4 a_{A}$ に比べて無視すると $Z_{0} \approx \frac{A}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{a _{C}}{4 a _{A}} A ^{2/3}}$ となり、重い核ほど $Z / A$ が $1/2$ より小さくなる（中性子過剰になる）ことがわかる。

別解

$M c^{2} = Z m_{H} c^{2} + (A - Z) m_{n} c^{2} - B (A, Z)$ を $Z$ で微分する。
$\frac{d}{d Z} [Z m_{H} c^{2} + (A - Z) m_{n} c^{2}] = - (m_{n} - m_{H}) c^{2} = - Δ$ 。
$- B$ の $Z$ 依存部分は $a_{C} \frac{Z ( Z - 1 )}{A ^{1/3}} + a_{A} \frac{( A - 2 Z ) ^{2}}{A}$ で、微分すると $a_{C} \frac{2 Z - 1}{A ^{1/3}} - \frac{4 a _{A} ( A - 2 Z )}{A}$ 。
極小の条件 $\frac{d ( M c ^{2} )}{d Z} = 0$ より
$- Δ + a_{C} \frac{2 Z - 1}{A ^{1/3}} - 4 a_{A} + \frac{8 a _{A} Z}{A} = 0$ 。
$Z$ について整理して $Z (\frac{2 a _{C}}{A ^{1/3}} + \frac{8 a _{A}}{A}) = Δ + \frac{a _{C}}{A ^{1/3}} + 4 a_{A}$ 。
よって $Z_{0} = \frac{Δ + a _{C} A ^{- 1/3} + 4 a _{A}}{2 a _{C} A ^{- 1/3} + 8 a _{A} / A}$ 。
$M c^{2}$ は $Z$ の 2 次関数で $Z^{2}$ の係数が $\frac{a _{C}}{A ^{1/3}} + \frac{4 a _{A}}{A} > 0$ なので、この停留点は最小である。
検算: $a_{C} = 0$ なら $Z_{0} = \frac{A}{2} + \frac{A Δ}{8 a _{A}}$ となり、 $Δ = 0$ なら $Z_{0} = A /2$ で対称エネルギーの結果と一致する。

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