結合エネルギーと核反応の Q 値

核子の静止質量と結合エネルギー（または原子の質量）から $Q = (\sum m_{始} - \sum m_{終}) c^{2}$ を求め、反応が発熱か吸熱かを判定できる

前提

核反応と反応エネルギー（高校物理原子）

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算数中学高校大学大学院

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核反応と反応エネルギー（高校物理原子）

説明

核反応で解放される（または必要な）エネルギーを、反応前後の静止質量の差から $Q = (\sum m_{始} - \sum m_{終}) c^{2}$ として求め、その符号で反応が発熱反応（ $Q > 0$ ）か吸熱反応（ $Q < 0$ ）かを判定できるようになります。質量表の原子の質量を使う方法と、各原子核の結合エネルギーを使う方法の両方を扱います。核分裂・核融合・粒子を当てる反応の解析で使います。

なぜそうしてよいのか

相対論では、静止している物体も $m c^{2}$ のエネルギーを持ちます。反応の前後で全エネルギー（静止エネルギー + 運動エネルギー）は保存されるので、
$\sum m_{始} c^{2} + K_{始} = \sum m_{終} c^{2} + K_{終}$
です。よって $Q = K_{終} - K_{始} = (\sum m_{始} - \sum m_{終}) c^{2}$ は「反応で運動エネルギーがどれだけ増えたか」を表します。 $Q > 0$ なら静止質量が減った分が運動エネルギーとして出てくる発熱反応、 $Q < 0$ なら運動エネルギーを $∣ Q ∣$ 以上つぎ込まないと起こらない吸熱反応です（実際には運動量保存のため、入射粒子の運動エネルギーは $∣ Q ∣$ より少し多く必要です）。

原子核の質量 $M$ は、陽子数 $Z$ 、中性子数 $N$ 、結合エネルギー $B$ を使って $M = Z m_{p} + N m_{n} - B / c^{2}$ と書けます（単独の陽子や中性子は $B = 0$ とみなします）。粒子を当てる核反応や $α$ 崩壊のように、反応の前後で陽子の総数と中性子の総数がそれぞれ変わらない反応では、 $Z m_{p} + N m_{n}$ の部分が始と終で打ち消し合い、
$Q = \sum B_{終} - \sum B_{始}$
となります。結合がより強くなる（結合エネルギーの合計が増える）反応ほどエネルギーが出る、ということです。一方、 $β$ 崩壊は中性子が陽子に（または陽子が中性子に）変わる反応なので、 $m_{n}$ と $m_{p}$ の差や電子の質量が打ち消されずに残り、結合エネルギーの差だけでは $Q$ は求まりません。このときは質量そのものの差を使います。

質量表には原子核ではなく中性原子の質量が載っていることが多いです。原子の質量は原子核の質量に $Z$ 個の電子の質量を足したもの（電子の結合エネルギーは無視できるほど小さい）なので、反応の前後で電子の総数（ $=$ 陽子の総数）が等しければ、原子の質量どうしで差をとっても電子の分は打ち消し合い、同じ $Q$ が得られます。

手順

核反応式を書き、質量数と電気量（陽子数）の保存で未知の粒子を確かめる。
反応前と反応後の粒子の質量をそれぞれ合計する。原子の質量を使うときは、反応前後で電子の総数が等しいこと（陽子数の合計が等しいこと）を確かめる。
$Δ m = \sum m_{始} - \sum m_{終}$ を計算する（質量の小さな差なので、与えられた桁を落とさずに引く）。
$Q = Δ m c^{2}$ をエネルギーに直す。原子質量単位なら $1 u$ あたりの換算値（例: $931.5 MeV$ ）を掛ける。結合エネルギーが与えられていて、陽子数・中性子数がそれぞれ保存される反応なら $Q = \sum B_{終} - \sum B_{始}$ を使う。
$Q > 0$ なら発熱反応、 $Q < 0$ なら吸熱反応と判定する。

例題

反応 $_{7}^{14} N +_{2}^{4} He \to_{8}^{17} O +_{1}^{1} H$ の $Q$ 値を MeV 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。中性原子の質量は $^{14} N$ : $14.003074 u$ 、 $^{4} He$ : $4.002603 u$ 、 $^{17} O$ : $16.999132 u$ 、 $^{1} H$ : $1.007825 u$ とし、 $1 u$ の質量に相当するエネルギーを $931.5 MeV$ とする。

例題の解答

（手順 1）質量数 $14 + 4 = 17 + 1$ 、陽子数 $7 + 2 = 8 + 1$ で保存している。

（手順 2）反応前: $14.003074 + 4.002603 = 18.005677 u$ 。反応後: $16.999132 + 1.007825 = 18.006957 u$ 。電子の数は前後とも $9$ 個なので、原子の質量で差をとってよい。

（手順 3） $Δ m = 18.005677 - 18.006957 = - 0.001280 u$ 。

（手順 4） $Q = - 0.001280 \times 931.5 MeV = - 1.19232 MeV \approx - 1.19 MeV$ 。

（手順 5） $Q < 0$ なので吸熱反応で、 $α$ 粒子に少なくとも $1.19 MeV$ 程度以上の運動エネルギーを与えないと起こらない。

答え: $- 1.19$

よくある誤り

$Q = (\sum m_{終} - \sum m_{始}) c^{2}$ と引く順を逆にしてしまう誤り（例題で $+ 1.19 MeV$ になり発熱と誤判定する）。正しくは $Q = (\sum m_{始} - \sum m_{終}) c^{2}$ で、質量が減るときに $Q > 0$ （発熱）。
結合エネルギーで $Q = \sum B_{始} - \sum B_{終}$ としてしまう誤り。結合エネルギーが大きいほど質量は小さいので、正しくは $Q = \sum B_{終} - \sum B_{始}$ （陽子数・中性子数がそれぞれ保存される反応で）。
原子の質量と原子核の質量を混ぜて使ってしまう誤り（例: $^{4} He$ は原子の質量、陽子は $m_{p}$ を使う）。電子 1 個分 $0.000549 u \approx 0.511 MeV$ のずれが出る。正しくは、どちらかにそろえる（例題なら $^{1} H$ 原子の質量を使う）。
$β^{+}$ 崩壊 $_{Z}^{A} X \to_{Z - 1}^{A} Y + e^{+} + ν$ でも原子の質量の差だけで $Q = (M_{X} - M_{Y}) c^{2}$ としてしまう誤り。電子の数が前後でそろわないので、正しくは $Q = (M_{X} - M_{Y} - 2 m_{e}) c^{2}$ （ $M$ は原子の質量、 $m_{e}$ は電子の質量）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
重水素の原子核（重陽子）どうしが衝突して起こる核融合反応
$_{1}^{2} H +_{1}^{2} H ⟶_{2}^{3} He +_{0}^{1} n$
を考える。原子核の結合エネルギーは $_{1}^{2} H$ が $2.22 MeV$ 、 $_{2}^{3} He$ が $7.72 MeV$ とし、中性子 $_{0}^{1} n$ の結合エネルギーは $0$ とする。
この反応の Q 値 $Q = (\sum m_{始} - \sum m_{終}) c^{2}$ は何 MeV か。小数第 2 位まで求めよ（発熱反応なら正、吸熱反応なら負の値になる）。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

非相対論的な核反応の運動学（大学物理原子核・素粒子）
同重体の安定性とベータ崩壊（大学物理原子核・素粒子）