非相対論的な核反応の運動学

運動量保存とエネルギー保存 $K_{a} + Q = K_{b} + K_{Y}$ から、吸熱反応のしきい値 $K_{th} = - Q \frac{m _{a} + m _{X}}{m _{X}}$ や、ある方向に放出された粒子のエネルギーから $Q$ 値・励起エネルギーを求められる

前提

結合エネルギーと核反応の Q 値（大学物理原子核・素粒子）
運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）

この技能までの道筋（51 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
仕事とエネルギーの移り変わり（中学理科物理分野の用語と知識）
エネルギー資源と放射線（中学理科物理分野の用語と知識）
原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
原子核の構成と放射性崩壊（高校物理原子）
質量欠損と結合エネルギー（高校物理原子）
核反応と反応エネルギー（高校物理原子）
結合エネルギーと核反応の Q 値（大学物理原子核・素粒子）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
作用反作用の法則とつり合う 2 力の区別（高校物理力と運動（知識））
運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）

説明

静止した標的核 X に粒子 a を当てて、粒子 b と核 Y ができる核反応 $a + X \to b + Y$ （X(a,b)Y と書く）を、運動エネルギーが静止エネルギーよりずっと小さい（非相対論的な）範囲で扱います。運動量保存とエネルギー保存 $K_{a} + Q = K_{b} + K_{Y}$ を組み合わせると、吸熱反応（ $Q < 0$ ）を起こすのに必要な入射エネルギーの最小値（しきい値） $K_{th} = - Q \frac{m _{a} + m _{X}}{m _{X}}$ が求まります。また、ある角度に出てきた粒子 b のエネルギーを測れば、余弦定理を使って Q 値や、Y が励起状態にあるときの励起エネルギーを逆算できます。

なぜそうしてよいのか

Q 値は反応で解放される静止エネルギー $Q = (m_{a} + m_{X} - m_{b} - m_{Y}) c^{2}$ で、エネルギー保存は $K_{a} + Q = K_{b} + K_{Y}$ です（X は静止）。吸熱反応 $Q < 0$ では $K_{a} \geq - Q$ が必要に見えますが、実はそれでは足りません。運動量 $p_{a}$ も保存されるので、反応後の粒子全体は必ず運動量 $p_{a}$ を持ち、その分の運動エネルギーは Q に使えないからです。

反応後の全質量を $M = m_{b} + m_{Y}$ 、全運動量を $P = p_{a}$ とします。b, Y の速度を、共通の速度 $V = \frac{P}{M}$ とそこからのずれ $u_{b}, u_{Y}$ に分けると、 $m_{b} u_{b} + m_{Y} u_{Y} = 0$ なので交差項が消えて $K_{b} + K_{Y} = \frac{P ^{2}}{2 M} + \frac{1}{2} m_{b} u_{b}^{2} + \frac{1}{2} m_{Y} u_{Y}^{2} \geq \frac{P ^{2}}{2 M}$ となります。等号は b と Y が同じ速度でいっしょに進むときで、これがしきい値の状況です。非相対論的な範囲では $∣ Q ∣$ は静止エネルギーに比べ小さいので $M \approx m_{a} + m_{X}$ としてよく、 $P^{2} = 2 m_{a} K_{a}$ から
$K_{a} + Q = \frac{m _{a} K _{a}}{m _{a} + m _{X}} ⟹ K_{th} = - Q \frac{m _{a} + m _{X}}{m _{X}}$
が得られます。標的が重いほど（ $m_{X} ≫ m_{a}$ ）しきい値は $- Q$ に近づきます。

粒子 b が入射方向と角 $θ$ をなす向きに出たときは、運動量の三角形 $p_{a} = p_{b} + p_{Y}$ に余弦定理を使って $p_{Y}^{2} = p_{a}^{2} + p_{b}^{2} - 2 p_{a} p_{b} cos θ$ とし、 $p^{2} = 2 m K$ で書きかえて $K_{Y}$ を消去すると
$Q = K_{b} (1 + \frac{m _{b}}{m _{Y}}) - K_{a} (1 - \frac{m _{a}}{m _{Y}}) - \frac{2 m _{a} m _{b} K _{a} K _{b}}{m _{Y}} cos θ$
（Q 方程式）が得られます。Y が励起状態で生じたときの Q 値は、基底状態への反応の Q 値より励起エネルギーの分だけ小さくなります。

手順

反応を $a + X \to b + Y$ と整理し、X が静止していること、Q 値の符号（ $Q < 0$ なら吸熱）を確認する
質量の比が必要なら、問題の指示に従って質量数などで近似する
しきい値を求めるときは、反応後に b と Y が同じ速度で進む条件から $K_{th} = - Q \frac{m _{a} + m _{X}}{m _{X}}$ を使う
放出された粒子のエネルギーから Q を求めるときは、運動量の三角形に余弦定理 $p_{Y}^{2} = p_{a}^{2} + p_{b}^{2} - 2 p_{a} p_{b} cos θ$ を使い、 $p^{2} = 2 m K$ で書きかえて $K_{Y}$ を求め、 $Q = K_{b} + K_{Y} - K_{a}$ とする
励起エネルギーは、基底状態への Q 値 $Q_{0}$ と測定から得た $Q$ の差 $E^{*} = Q_{0} - Q$ として求める

例題

静止した $^{14} N$ 核に $α$ 粒子を当てて起こす反応 $^{14} N (α, p)^{17} O$ の Q 値は $- 1.19 MeV$ である。この反応が起こるための $α$ 粒子の運動エネルギーの最小値（しきい値）は何 MeV か。非相対論的に扱い、質量の比は質量数の比で近似して、有効数字 3 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1：a $= α$ 、X $=^{14} N$ （静止）、b $= p$ 、Y $=^{17} O$ 。 $Q = - 1.19 MeV < 0$ なので吸熱反応で、しきい値がある。

手順 2：質量数で近似して $m_{a} : m_{X} = 4 : 14$ 。

手順 3：反応後に陽子と $^{17} O$ が同じ速度で進むときが最小なので
$K_{th} = - Q \frac{m _{a} + m _{X}}{m _{X}} = 1.19 \times \frac{4 + 14}{14} = 1.19 \times \frac{9}{7} = 1.53 MeV$
（入射エネルギーのうち $\frac{4}{18}$ は全体の運動として残るので、 $- Q = 1.19 MeV$ ちょうどでは足りない。）

答え: $1.53$

よくある誤り

しきい値を $K_{th} = - Q$ としてしまう誤り。運動量保存により反応後も全体の運動エネルギー $\frac{m _{a}}{m _{a} + m _{X}} K_{a}$ が残るので、正しくは $K_{th} = - Q \frac{m _{a} + m _{X}}{m _{X}}$ （上の例では $1.19$ ではなく $1.53 MeV$ ）
しきい値の式で分母に入射粒子の質量を使い $- Q \frac{m _{a} + m _{X}}{m _{a}}$ としてしまう誤り。分母は標的 X の質量で、正しくは $- Q \frac{m _{a} + m _{X}}{m _{X}}$ 。上の例で分母を 4 にすると $5.36 MeV$ となり大きすぎる
運動量保存を大きさだけの式 $p_{a} = p_{b} + p_{Y}$ で書いてしまう誤り。b が角 $θ$ に出るときは運動量はベクトルとして保存し、正しくは余弦定理 $p_{Y}^{2} = p_{a}^{2} + p_{b}^{2} - 2 p_{a} p_{b} cos θ$ を使う（ $θ = 9 0^{\circ}$ なら $p_{Y}^{2} = p_{a}^{2} + p_{b}^{2}$ ）
Q 値から励起エネルギーを求めるとき符号を逆にする誤り。Y が励起エネルギー $E^{*}$ の状態で生じると Q 値は小さくなるので、正しくは $Q = Q_{0} - E^{*}$ 、すなわち $E^{*} = Q_{0} - Q$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
静止している $_{7}^{14} N$ 原子核に $α$ 粒子を当てて、核反応
$_{2}^{4} He +_{7}^{14} N ⟶_{8}^{17} O +_{1}^{1} H$
を起こす。この反応の Q 値は $Q = - 1.19 MeV$ である。原子核の質量は質量数に比例するとみなし（ $m_{α} : m_{N} = 4 : 14$ ）、反応の前後で質量の和は変わらないとして非相対論的に扱う。
この反応が起こるために必要な $α$ 粒子の運動エネルギーの最小値（しきい値） $K_{th}$ は何 MeV か。小数第 2 位まで求めよ。

非相対論的な核反応の運動学

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題