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原子核・素粒子の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理原子核・素粒子

静止している $_{7}^{14} N$ 原子核に $α$ 粒子を当てて、核反応
$_{2}^{4} He +_{7}^{14} N ⟶_{8}^{17} O +_{1}^{1} H$
を起こす。この反応の Q 値は $Q = - 1.19 MeV$ である。原子核の質量は質量数に比例するとみなし（ $m_{α} : m_{N} = 4 : 14$ ）、反応の前後で質量の和は変わらないとして非相対論的に扱う。

この反応が起こるために必要な $α$ 粒子の運動エネルギーの最小値（しきい値） $K_{th}$ は何 MeV か。小数第 2 位まで求めよ。

この問題で使うもの

非相対論的な核反応の運動学（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

非相対論的な核反応の運動学の技能を使う。吸熱反応のしきい値は $K_{th} = - Q \frac{m _{a} + m _{X}}{m _{X}}$ （ $m_{a}$ は入射粒子、 $m_{X}$ は静止した標的の質量）。

ヒント 2

しきい値では、反応後の粒子がすべて重心速度で一緒に動く。運動量保存から、そのときの運動エネルギーは $\frac{m _{a}}{m _{a} + m _{X}} K_{a}$ になる。

ヒント 3

$m_{a} = 4$ , $m_{X} = 14$ とすると $\frac{m _{a} + m _{X}}{m _{X}} = \frac{18}{14}$ 。これに $- Q = 1.19$ を掛ける。

答えと解説

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1.53

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解説を読む

方針吸熱反応（ $Q < 0$ ）では、入射粒子の運動エネルギーのすべてを反応に使うことはできない。運動量保存のため、重心の運動のエネルギーは反応後も残るからである。運動量保存とエネルギー保存からしきい値の式 $K_{th} = - Q \frac{m _{a} + m _{X}}{m _{X}}$ を得て、数値を代入する。

しきい値の式の確認 $α$ 粒子（質量 $m_{a}$ 、速さ $v$ ）が静止した標的（質量 $m_{X}$ ）に当たるとき、運動量 $m_{a} v$ は保存する。反応後の運動エネルギーの和が最小になるのは、生成粒子がすべて同じ速度（重心速度） $V = \frac{m _{a} v}{m _{a} + m _{X}}$ で動くときで、そのときの運動エネルギーは
$\frac{1}{2} (m_{a} + m_{X}) V^{2} = \frac{m _{a}}{m _{a} + m _{X}} K_{a} (K_{a} = \frac{1}{2} m_{a} v^{2}) .$
エネルギー保存 $K_{a} + Q = K_{b} + K_{Y}$ にこれを入れると、しきい値では
$K_{th} + Q = \frac{m _{a}}{m _{a} + m _{X}} K_{th} ⟹ K_{th} = - Q \frac{m _{a} + m _{X}}{m _{X}} .$

数値を代入する $m_{a} : m_{X} = 4 : 14$ より $\frac{m _{a} + m _{X}}{m _{X}} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$ なので
$K_{th} = 1.19 \times \frac{9}{7} = 0.17 \times 9 = 1.53 MeV .$

$∣ Q ∣ = 1.19 MeV$ より大きなエネルギーが必要になるのは、そのうち $\frac{4}{18}$ が重心の運動として残るためである。

別解

重心系の運動エネルギーは反応に使えない。標的は静止しているので、入射粒子の運動エネルギー $K$ のうち重心の運動に残る分は $\frac{m _{α}}{m _{α} + m _{N}} K$ 、重心系で使える分は $\frac{m _{N}}{m _{α} + m _{N}} K$ 。反応が起こる条件は、これが $- Q$ 以上であること:
$\frac{m _{N}}{m _{α} + m _{N}} K \geq - Q \Rightarrow K_{th} = - Q \frac{m _{α} + m _{N}}{m _{N}} = 1.19 \times \frac{4 + 14}{14} .$
$K_{th} = 1.19 \times \frac{18}{14} = \frac{21.42}{14} = 1.53 MeV .$
検算: しきい値のとき生成物は重心系で静止し、全体が重心速度で動く。そのエネルギーは $K_{th} \cdot \frac{4}{18} = 1.53 \times 0.2222 = 0.34 MeV$ で、 $K_{th} - 0.34 = 1.19 = - Q$ となり一致する。

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