原子核・素粒子の問題

静止している粒子の次の崩壊 $(1)$〜$(5)$ のうち、電荷・バリオン数・電子数 $L_e$・ミューオン数 $L_{\mu }$ の保存と、エネルギーの保存（崩壊前の静止質量が崩壊後の静止質量の和以上であること）をすべて満たし、起こりうるものの番号をすべて求めよ。

$(1)$ $\mathrm{n}\to \mathrm{p}+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $\mathrm{p}\to \mathrm{n}+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(5)$ $\mathrm{p}\to e^{+}+{\pi }^0$

ただし、静止質量は $\mathrm{n}$: $939.6\text{MeV}/c^2$、$\mathrm{p}$: $938.3\text{MeV}/c^2$、$e^{\pm }$: $0.511\text{MeV}/c^2$、${\mu }^{-}$: $105.7\text{MeV}/c^2$、${\pi }^0$: $135.0\text{MeV}/c^2$ とし、ニュートリノと光子 $\gamma$ の質量は $0$ とする。量子数は次のとおりとする。
- バリオン数：$\mathrm{p}$, $\mathrm{n}$ は $+1$、それ以外の粒子（レプトン・${\pi }^0$・$\gamma$）は $0$
- 電子数 $L_e$：$e^{-}$, ${\nu }_e$ は $+1$、$e^{+}$, ${\bar{\nu }}_e$ は $-1$、それ以外は $0$
- ミューオン数 $L_{\mu }$：${\mu }^{-}$, ${\nu }_{\mu }$ は $+1$、${\mu }^{+}$, ${\bar{\nu }}_{\mu }$ は $-1$、それ以外は $0$

質量数 $A$、陽子数 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、ワイツゼッカーの質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}+\delta$$
で表す。ここで $a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数であり、対項 $\delta$ は $A$ が奇数の原子核では $\delta =0$ である。

互いに鏡像核である ${}_{13}^{27}\mathrm{Al}$ と ${}_{14}^{27}\mathrm{Si}$ について、結合エネルギーの差 $B(27,13)-B(27,14)$ は何 MeV か。$a_C=0.69\text{MeV}$ として、小数第 2 位まで求めよ。

原子核を一様に帯電した非圧縮性の液滴とみなす液滴模型を考える。質量数 $A$、陽子数 $Z$ の球形の原子核の表面エネルギーを $E_S=a_S{A}^{2/3}$、クーロンエネルギーを $E_C=a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}$ とする。体積を一定に保ったまま、球を小さなパラメータ $\epsilon$（$|\epsilon |\ll 1$）で回転楕円体に変形させると、${\epsilon }^2$ の項までで
$$E_S\to E_S\left(1+\frac{2}{5}{\epsilon }^2\right),E_C\to E_C\left(1-\frac{1}{5}{\epsilon }^2\right)$$
と変化する。

$a_S=17.0\text{MeV}$, $a_C=0.68\text{MeV}$ とするとき、球形がこの変形に対して不安定になる（変形でエネルギーの和が下がる）ための $\frac{Z^2}{A}$ の臨界値を求めよ。

質量数 $A$、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、ワイツゼッカーの半経験的質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}$$
で表す（$a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数）。$A$ は奇数とし、対エネルギーの項は考えない。中性原子の質量は
$$M(A,Z)c^2=Z{m}_{\mathrm{H}}{c}^2+(A-Z)m_n{c}^2-B(A,Z)$$
で与えられるとする（$m_{\mathrm{H}}$ は水素原子の質量、$m_n$ は中性子の質量。電子の結合エネルギーは無視する）。

$\Delta =(m_n-m_{\mathrm{H}})c^2$（$\Delta >0$）とおく。$A$ を固定し $Z$ を連続変数とみなしたとき、$M(A,Z)$ を最小にする（同重体の中で最も安定な）$Z$ の値 $Z_0$ を、$A,a_C,a_A,\Delta$ を用いて求めよ。

静止している ${}_7^{14}\mathrm{N}$ 原子核に $\alpha$ 粒子を当てて、核反応
$${}_2^4\mathrm{He}+{}_7^{14}\mathrm{N}⟶{}_8^{17}\mathrm{O}+{}_1^1\mathrm{H}$$
を起こす。この反応の Q 値は $Q=-1.19\text{MeV}$ である。原子核の質量は質量数に比例するとみなし（$m_{\alpha }:m_{\mathrm{N}}=4:14$）、反応の前後で質量の和は変わらないとして非相対論的に扱う。

この反応が起こるために必要な $\alpha$ 粒子の運動エネルギーの最小値（しきい値）$K_{\text{th}}$ は何 MeV か。小数第 2 位まで求めよ。