原子核・素粒子の問題

液滴模型で原子核の変形に対する安定性を考える。質量数 $A$、原子番号 $Z$ の球形の原子核の表面エネルギーと クーロンエネルギーを、半経験的質量公式にならって
$$E_S^{(0)}=a_S{A}^{2/3},E_C^{(0)}=a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}$$
とする（$a_S=18.0\mathrm{MeV}$、$a_C=0.72\mathrm{MeV}$）。

この原子核を、体積を一定に保ったまま、半径 $R$ の球から長半径 $R(1+\epsilon )$、短半径 $R(1+\epsilon {)}^{-1/2}$ の回転楕円体へわずかに変形させる（$|\epsilon |\ll 1$）。このとき、核物質は非圧縮で電荷は一様に分布するとし、表面エネルギーとクーロンエネルギーはそれぞれ $\epsilon$ の 2 次まで
$$E_S(\epsilon )=E_S^{(0)}\left(1+\frac{2}{5}{\epsilon }^2\right),E_C(\epsilon )=E_C^{(0)}\left(1-\frac{1}{5}{\epsilon }^2\right)$$
と変化するものとする。体積エネルギーなど、ほかの項は変形によって変化しないとする。

$A=300$ の原子核について、球形が微小変形に対して不安定になる（変形によって全エネルギーが下がる）ような原子番号 $Z$（正の整数）のうち、最小のものを求めよ。

運動エネルギー $K$ の $\alpha$ 粒子のビームを薄い金箔に当てる散乱実験を行う。金の原子核は十分重く静止したままとみなし、$\alpha$ 粒子は原子核からクーロン斥力 $U=\frac{k}{r}$（$k>0$）だけを受けて 1 回だけ散乱されるものとする。このとき散乱の微分断面積はラザフォードの公式
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }={\left(\frac{k}{4K}\right)}^2\frac{1}{{\sin }^4(\theta /2)}$$
で与えられる（$\theta$ は散乱角）。

同じ立体角をもつ小さな検出器を、散乱角 $\theta =\frac{\pi }{3}$ の位置と $\theta =\frac{2\pi }{3}$ の位置に置いた。同じ時間に $\theta =\frac{\pi }{3}$ の検出器で数えられる粒子数は、$\theta =\frac{2\pi }{3}$ の検出器で数えられる粒子数の何倍か。

質量数 $A$、陽子数 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、ワイツゼッカーの質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}+\delta$$
で表す。ここで $a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数であり、対項 $\delta$ は $A$ が奇数の原子核では $\delta =0$ である。

互いに鏡像核である ${}_{13}^{27}\mathrm{Al}$ と ${}_{14}^{27}\mathrm{Si}$ について、結合エネルギーの差 $B(27,13)-B(27,14)$ は何 MeV か。$a_C=0.69\text{MeV}$ として、小数第 2 位まで求めよ。

重水素の原子核（重陽子）どうしが衝突して起こる核融合反応
$${}_1^2\mathrm{H}+{}_1^2\mathrm{H}⟶{}_2^3\mathrm{He}+{}_0^1\mathrm{n}$$
を考える。原子核の結合エネルギーは ${}_1^2\mathrm{H}$ が $2.22\text{MeV}$、${}_2^3\mathrm{He}$ が $7.72\text{MeV}$ とし、中性子 ${}_0^1\mathrm{n}$ の結合エネルギーは $0$ とする。

この反応の Q 値 $Q=\left(\sum m_{\text{始}}-\sum m_{\text{終}}\right)c^2$ は何 MeV か。小数第 2 位まで求めよ（発熱反応なら正、吸熱反応なら負の値になる）。

質量数 $A=63$ の同重体（質量数が同じで原子番号 $Z$ が異なる原子）を考える。$A$ を固定すると、原子の質量エネルギーは $Z$ の 2 次式として
$$M(Z)c^2=M_0{c}^2-35.04Z+0.60Z^2[\text{MeV}]$$
と近似できるものとする（$M_0{c}^2$ は $Z$ によらない定数）。ここで $Z$ は正の整数である。原子の質量が小さい同重体ほど安定であり、隣りあう同重体の間では、原子の質量が大きいほうから小さいほうへ ${\beta }^{-}$ 崩壊または電子捕獲（${\beta }^{+}$ 崩壊を含む）が起こりうるものとする。

$A=63$ の同重体のうち、ベータ崩壊に対して安定なもの（最も原子の質量が小さいもの）の原子番号 $Z$ を求めよ。