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原子の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理原子

静止しているラジウムの原子核 $_{88}^{226} Ra$ が $α$ 崩壊して、ラドンの原子核 $_{86}^{222} Rn$ とヘリウムの原子核 $_{2}^{4} He$ （ $α$ 粒子）に分かれる。
$_{88}^{226} Ra ⟶_{86}^{222} Rn +_{2}^{4} He$
それぞれの原子核の質量を、 $_{88}^{226} Ra$ が $226.0254 u$ 、 $_{86}^{222} Rn$ が $222.0176 u$ 、 $_{2}^{4} He$ が $4.0026 u$ とし、 $1 u$ の質量に相当するエネルギーを $931.5 MeV$ とする。

この崩壊で放出されるエネルギーはすべて $_{86}^{222} Rn$ と $α$ 粒子の運動エネルギーになり、 $γ$ 線は放出されないものとする。また、運動エネルギーの計算では相対論的な効果を無視し、 $_{86}^{222} Rn$ と $α$ 粒子の質量の比を質量数の比 $222 : 4$ とみなしてよい。

崩壊後の $_{86}^{222} Rn$ の運動エネルギーは何 MeV か。有効数字 2 桁で求めよ。

この問題で使うもの

核反応と反応エネルギー（説明と入口の問題）
質量欠損と結合エネルギー（説明と入口の問題）
運動量保存則（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（49 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず質量欠損から放出エネルギーを求め、次に運動量保存則を使って 2 つの粒子への運動エネルギーの分け方を考えよう。

ヒント 2

崩壊前の運動量は $0$ なので、Rn と $α$ 粒子の運動量の大きさは等しい。運動量の大きさを $p$ とすると運動エネルギーは $\frac{p ^{2}}{2 M}$ と表せる。

ヒント 3

質量欠損は $0.0052 u$ で、放出エネルギーは約 $4.84 MeV$ である。運動エネルギーの比は質量の逆比 $K_{Rn} : K_{α} = 4 : 222$ になる。

答えと解説

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8.6 \times 1 0^{- 2}

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放出されるエネルギー

質量欠損 $Δ m$ は、崩壊前の質量から崩壊後の質量の和を引いたものなので
$Δ m = 226.0254 - (222.0176 + 4.0026) = 226.0254 - 226.0202 = 0.0052 u$
質量とエネルギーの等価性より、放出されるエネルギー $Q$ は
$Q = 0.0052 \times 931.5 = 4.8438 MeV$

運動エネルギーの分配

Rn の質量を $M$ 、速さを $V$ 、 $α$ 粒子の質量を $m$ 、速さを $v$ とする。崩壊は Ra の内部の力だけで起こり外力ははたらかないので、運動量保存則が成り立つ。崩壊前の運動量は $0$ なので、2 つの粒子は互いに逆向きに飛び
$M V = m v (1)$
となる。運動量の大きさを $p = M V = m v$ とすると、運動エネルギーは
$K_{Rn} = \frac{p ^{2}}{2 M}, K_{α} = \frac{p ^{2}}{2 m}$
なので、運動エネルギーは質量に反比例し
$K_{Rn} : K_{α} = m : M = 4 : 222$
である。放出エネルギーはすべて運動エネルギーになるので $K_{Rn} + K_{α} = Q$ であり
$K_{Rn} = Q \times \frac{4}{4 + 222} = 4.8438 \times \frac{4}{226} = \frac{19.3752}{226} ≒ 0.0857 MeV$
よって、有効数字 2 桁で $8.6 \times 1 0^{- 2} MeV$ である。

別解

質量欠損 $Δ m = 226.0254 - (222.0176 + 4.0026) = 226.0254 - 226.0202 = 0.0052 u$ 。
放出エネルギー $Q = 0.0052 \times 931.5 = 4.8438 MeV$ 。
運動量保存（崩壊前は静止）より Rn と α 粒子の運動量の大きさは等しく $p$ 。運動エネルギー $\frac{p ^{2}}{2 M}$ は質量に反比例するので $K_{Rn} : K_{α} = 4 : 222$ 。
$K_{Rn} = Q \times \frac{4}{222 + 4} = 4.8438 \times \frac{4}{226} \approx 0.0857 MeV \approx 0.086 MeV$ 。
検算: $K_{α} = 4.8438 \times \frac{222}{226} \approx 4.758 MeV$ 、合計 $0.0857 + 4.758 = 4.844$ で $Q$ に一致。

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