原子核・素粒子の問題

静止している ${\mu }^{-}$ が、3 体崩壊
$${\mu }^{-}\to e^{-}+X_1+X_2$$
を起こす。$X_1,X_2$ は ${\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu }$ のいずれかであり（同じものでもよい）、電荷・電子型レプトン数 $L_e$・ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ がすべて保存するように決まる。量子数は、$e^{-}$: 電荷 $-1$、$L_e=1$、${\mu }^{-}$: 電荷 $-1$、$L_{\mu }=1$、${\nu }_e$: $L_e=1$、${\nu }_{\mu }$: $L_{\mu }=1$ とし（記載のない量子数は $0$、反粒子は符号が反転する）、ニュートリノの質量は $0$ とする。

静止質量エネルギーを $m_{\mu }{c}^2=105.66\mathrm{MeV}$、$m_e{c}^2=0.511\mathrm{MeV}$ とする。この崩壊で放出される電子の運動エネルギーがとりうる最大値を、特殊相対論に基づいて MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

静止している ${\pi }^{+}$ 中間子が、2 体崩壊
$${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+X$$
を起こす。$X$ は ${\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu }$ のうちの 1 つであり、電荷・バリオン数・電子型レプトン数 $L_e$・ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ がすべて保存するように決まる。量子数は次のとおりとする（記載のない量子数は $0$、反粒子は符号が反転する）。

• ${\pi }^{+}$: 電荷 $+1$
• ${\mu }^{-}$: 電荷 $-1$、$L_{\mu }=1$
• ${\nu }_e$: $L_e=1$、${\nu }_{\mu }$: $L_{\mu }=1$

静止質量エネルギーを $m_{\pi }{c}^2=139.57\mathrm{MeV}$、$m_{\mu }{c}^2=105.66\mathrm{MeV}$ とし、$X$ の質量は $0$ とする。崩壊で生じた ${\mu }^{+}$ の運動エネルギーを、特殊相対論に基づいて MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

静止している ${}_6^{12}\mathrm{C}$ 原子核に、運動エネルギー $6.50\mathrm{MeV}$ の重陽子 $d$（${}_1^2\mathrm{H}$ の原子核）を入射させ、核反応
$$d+{}_6^{12}\mathrm{C}\to p+{}_6^{13}{\mathrm{C}}^{\ast }$$
を起こした。入射方向に対して $90^{\circ }$ の方向に放出された陽子の運動エネルギーを測ったところ $4.80\mathrm{MeV}$ であった。このとき生成された ${}_6^{13}\mathrm{C}$ は、基底状態から励起エネルギー $E_x$ だけ高い励起状態 ${}_6^{13}{\mathrm{C}}^{\ast }$ にあった。

基底状態の原子核の結合エネルギーを、${}_1^2\mathrm{H}$: $2.224\mathrm{MeV}$、${}_6^{12}\mathrm{C}$: $92.162\mathrm{MeV}$、${}_6^{13}\mathrm{C}$: $97.108\mathrm{MeV}$ とする。運動は非相対論的に扱い、運動量と運動エネルギーの計算では各粒子の質量を質量数に比例するとみなす（$p:d:{}^{12}\mathrm{C}:{}^{13}{\mathrm{C}}^{\ast }=1:2:12:13$）。

$E_x$ を MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

静止している ${}_3^7\mathrm{Li}$ 原子核に陽子を入射させて、核反応
$$p+{}_3^7\mathrm{Li}\to n+{}_4^7\mathrm{Be}$$
を起こす。${}_3^7\mathrm{Li}$ と ${}_4^7\mathrm{Be}$ の原子核の結合エネルギーはそれぞれ $39.245\mathrm{MeV}$、$37.600\mathrm{MeV}$ とする。

反応の Q 値は核子の静止質量と結合エネルギーから正確に求めるものとし、一方で運動学（運動量・運動エネルギー）の計算は非相対論的に行い、そこでは陽子・中性子・${}^7\mathrm{Li}$・${}^7\mathrm{Be}$ の質量の比を $1:1:7:7$ とみなす。

陽子の運動エネルギーがこの反応のしきい値（反応が起こりうる最小の運動エネルギー）にちょうど等しいとき、反応で生じた中性子の運動エネルギーを MeV 単位で求めよ。答えは正確な値（小数）で答えよ。

次の表は、いくつかの粒子の静止質量（単位 $\mathrm{MeV}/c^2$）と、電荷 $Q$（電気素量 $e$ 単位）、バリオン数 $B$、電子型レプトン数 $L_e$、ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ である。反粒子は、質量が粒子と同じで、$Q,B,L_e,L_{\mu }$ がすべて粒子の符号を反転した値をもつ。${\pi }^0$ と光子 $\gamma$ は自分自身が反粒子であり、ニュートリノと光子の質量は $0$ とする。

（${\pi }^{-}$ は ${\pi }^{+}$ の反粒子である。）

静止している自由な粒子の次の崩壊 $(1)$〜$(8)$ について、「電荷・バリオン数・電子型レプトン数・ミュー型レプトン数がそれぞれ保存し、かつ崩壊前の粒子の静止質量が崩壊後の粒子の静止質量の和より大きい」ときに限り崩壊が起こりうるとする。この基準で起こりうる崩壊の番号をすべて求めよ。

$(1)$ $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $p\to n+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ $p\to e^{+}+{\pi }^0$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(5)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(6)$ ${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+{\nu }_{\mu }$

$(7)$ $\Lambda \to p+{\pi }^{-}$

$(8)$ ${\pi }^{-}\to e^{-}+{\nu }_e$