原子核・素粒子の問題

静止している ${\mu }^{-}$ が、3 体崩壊
$${\mu }^{-}\to e^{-}+X_1+X_2$$
を起こす。$X_1,X_2$ は ${\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu }$ のいずれかであり（同じものでもよい）、電荷・電子型レプトン数 $L_e$・ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ がすべて保存するように決まる。量子数は、$e^{-}$: 電荷 $-1$、$L_e=1$、${\mu }^{-}$: 電荷 $-1$、$L_{\mu }=1$、${\nu }_e$: $L_e=1$、${\nu }_{\mu }$: $L_{\mu }=1$ とし（記載のない量子数は $0$、反粒子は符号が反転する）、ニュートリノの質量は $0$ とする。

静止質量エネルギーを $m_{\mu }{c}^2=105.66\mathrm{MeV}$、$m_e{c}^2=0.511\mathrm{MeV}$ とする。この崩壊で放出される電子の運動エネルギーがとりうる最大値を、特殊相対論に基づいて MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

自由な陽子は崩壊しないが、十分なエネルギーをもつ電子を当てると、反応
$$e^{-}+p\to n+Y$$
が起こりうる。ここで $Y$ は ${\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu },\gamma$ のいずれか 1 つの粒子であり、電荷・バリオン数・電子型レプトン数・ミュー型レプトン数がすべて保存するように決まる。各粒子の量子数は次のとおりである（反粒子は符号が反転する）。

• $e^{-}$: 電荷 $-1$、$L_e=1$
• $p$: 電荷 $+1$、バリオン数 $1$
• $n$: 電荷 $0$、バリオン数 $1$
• ${\nu }_e$: $L_e=1$、${\nu }_{\mu }$: $L_{\mu }=1$、$\gamma$: すべて $0$

（記載のない量子数は $0$ とする。）

静止質量エネルギーを $m_p{c}^2=938.27\mathrm{MeV}$、$m_n{c}^2=939.57\mathrm{MeV}$、$m_e{c}^2=0.511\mathrm{MeV}$ とし、$Y$ の質量は $0$ とする。静止している陽子に電子を入射させるとき、この反応が起こるための電子の運動エネルギーの最小値を、特殊相対論に基づいて MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

静止している粒子の次の崩壊 $(1)$〜$(5)$ のうち、電荷・バリオン数・電子数 $L_e$・ミューオン数 $L_{\mu }$ の保存と、エネルギーの保存（崩壊前の静止質量が崩壊後の静止質量の和以上であること）をすべて満たし、起こりうるものの番号をすべて求めよ。

$(1)$ $\mathrm{n}\to \mathrm{p}+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $\mathrm{p}\to \mathrm{n}+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(5)$ $\mathrm{p}\to e^{+}+{\pi }^0$

ただし、静止質量は $\mathrm{n}$: $939.6\text{MeV}/c^2$、$\mathrm{p}$: $938.3\text{MeV}/c^2$、$e^{\pm }$: $0.511\text{MeV}/c^2$、${\mu }^{-}$: $105.7\text{MeV}/c^2$、${\pi }^0$: $135.0\text{MeV}/c^2$ とし、ニュートリノと光子 $\gamma$ の質量は $0$ とする。量子数は次のとおりとする。
- バリオン数：$\mathrm{p}$, $\mathrm{n}$ は $+1$、それ以外の粒子（レプトン・${\pi }^0$・$\gamma$）は $0$
- 電子数 $L_e$：$e^{-}$, ${\nu }_e$ は $+1$、$e^{+}$, ${\bar{\nu }}_e$ は $-1$、それ以外は $0$
- ミューオン数 $L_{\mu }$：${\mu }^{-}$, ${\nu }_{\mu }$ は $+1$、${\mu }^{+}$, ${\bar{\nu }}_{\mu }$ は $-1$、それ以外は $0$

静止している ${}_3^6\mathrm{Li}$ 原子核が、運動エネルギーが無視できるほど小さい中性子（熱中性子）を吸収して、核反応
$$n+{}_3^6\mathrm{Li}\to {}_2^4\mathrm{He}+{}_1^3\mathrm{H}$$
を起こす。原子核の結合エネルギーを、${}_3^6\mathrm{Li}$: $31.994\mathrm{MeV}$、${}_2^4\mathrm{He}$: $28.296\mathrm{MeV}$、${}_1^3\mathrm{H}$: $8.482\mathrm{MeV}$ とする。

反応で生じた ${}_1^3\mathrm{H}$（三重水素の原子核）の運動エネルギーを MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、運動は非相対論的に扱い、運動量の計算では ${}_2^4\mathrm{He}$ と ${}_1^3\mathrm{H}$ の質量の比を $4:3$ とみなす。

次の表は、いくつかの粒子の静止質量（単位 $\mathrm{MeV}/c^2$）と、電荷 $Q$（電気素量 $e$ 単位）、バリオン数 $B$、電子型レプトン数 $L_e$、ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ である。反粒子は、質量が粒子と同じで、$Q,B,L_e,L_{\mu }$ がすべて粒子の符号を反転した値をもつ。${\pi }^0$ と光子 $\gamma$ は自分自身が反粒子であり、ニュートリノと光子の質量は $0$ とする。

（${\pi }^{-}$ は ${\pi }^{+}$ の反粒子である。）

静止している自由な粒子の次の崩壊 $(1)$〜$(8)$ について、「電荷・バリオン数・電子型レプトン数・ミュー型レプトン数がそれぞれ保存し、かつ崩壊前の粒子の静止質量が崩壊後の粒子の静止質量の和より大きい」ときに限り崩壊が起こりうるとする。この基準で起こりうる崩壊の番号をすべて求めよ。

$(1)$ $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $p\to n+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ $p\to e^{+}+{\pi }^0$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(5)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(6)$ ${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+{\nu }_{\mu }$

$(7)$ $\Lambda \to p+{\pi }^{-}$

$(8)$ ${\pi }^{-}\to e^{-}+{\nu }_e$