原子核・素粒子の問題

静止している粒子が崩壊する次の過程 $(1)$〜$(8)$ を考える。

$(1)$ $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $p\to n+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(5)$ ${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+{\nu }_{\mu }$

$(6)$ $p\to e^{+}+{\pi }^0$

$(7)$ ${\Lambda }^0\to p+{\pi }^{-}$

$(8)$ ${\pi }^{-}\to e^{-}+{\nu }_e$

ここでは、次の 5 つの条件をすべて満たす過程を「起こりうる」とし、1 つでも満たさない過程を「起こらない」とする。
- 電荷の保存
- バリオン数の保存（$p,n,{\Lambda }^0$ は $+1$、それ以外の粒子は $0$）
- 電子型レプトン数 $L_e$ の保存（$e^{-},{\nu }_e$ は $+1$、$e^{+},{\bar{\nu }}_e$ は $-1$、それ以外は $0$）
- ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ の保存（${\mu }^{-},{\nu }_{\mu }$ は $+1$、${\mu }^{+},{\bar{\nu }}_{\mu }$ は $-1$、それ以外は $0$）
- エネルギー保存：崩壊前の粒子の静止質量が、崩壊後の粒子の静止質量の和より大きい

静止質量（単位 $\text{MeV}/c^2$）は、$p$: $938.3$、$n$: $939.6$、$e^{\pm }$: $0.511$、${\mu }^{\pm }$: $105.7$、${\pi }^{\pm }$: $139.6$、${\pi }^0$: $135.0$、${\Lambda }^0$: $1115.7$ とし、ニュートリノと光子 $\gamma$ の質量は $0$ とする。電荷は $p,{\mu }^{+},{\pi }^{+},e^{+}$ が $+e$、$e^{-},{\mu }^{-},{\pi }^{-}$ が $-e$、その他は $0$ である。

起こりうる過程の番号をすべて求め、集合で答えよ。

静止している粒子の次の崩壊 $(1)$〜$(5)$ のうち、電荷・バリオン数・電子数 $L_e$・ミューオン数 $L_{\mu }$ の保存と、エネルギーの保存（崩壊前の静止質量が崩壊後の静止質量の和以上であること）をすべて満たし、起こりうるものの番号をすべて求めよ。

$(1)$ $\mathrm{n}\to \mathrm{p}+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $\mathrm{p}\to \mathrm{n}+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(5)$ $\mathrm{p}\to e^{+}+{\pi }^0$

ただし、静止質量は $\mathrm{n}$: $939.6\text{MeV}/c^2$、$\mathrm{p}$: $938.3\text{MeV}/c^2$、$e^{\pm }$: $0.511\text{MeV}/c^2$、${\mu }^{-}$: $105.7\text{MeV}/c^2$、${\pi }^0$: $135.0\text{MeV}/c^2$ とし、ニュートリノと光子 $\gamma$ の質量は $0$ とする。量子数は次のとおりとする。
- バリオン数：$\mathrm{p}$, $\mathrm{n}$ は $+1$、それ以外の粒子（レプトン・${\pi }^0$・$\gamma$）は $0$
- 電子数 $L_e$：$e^{-}$, ${\nu }_e$ は $+1$、$e^{+}$, ${\bar{\nu }}_e$ は $-1$、それ以外は $0$
- ミューオン数 $L_{\mu }$：${\mu }^{-}$, ${\nu }_{\mu }$ は $+1$、${\mu }^{+}$, ${\bar{\nu }}_{\mu }$ は $-1$、それ以外は $0$

静止している ${\pi }^{+}$ 中間子が、2 体崩壊
$${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+X$$
を起こす。$X$ は ${\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu }$ のうちの 1 つであり、電荷・バリオン数・電子型レプトン数 $L_e$・ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ がすべて保存するように決まる。量子数は次のとおりとする（記載のない量子数は $0$、反粒子は符号が反転する）。

• ${\pi }^{+}$: 電荷 $+1$
• ${\mu }^{-}$: 電荷 $-1$、$L_{\mu }=1$
• ${\nu }_e$: $L_e=1$、${\nu }_{\mu }$: $L_{\mu }=1$

静止質量エネルギーを $m_{\pi }{c}^2=139.57\mathrm{MeV}$、$m_{\mu }{c}^2=105.66\mathrm{MeV}$ とし、$X$ の質量は $0$ とする。崩壊で生じた ${\mu }^{+}$ の運動エネルギーを、特殊相対論に基づいて MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

静止している ${\Sigma }^{-}$ 粒子（静止エネルギー $1197.4\mathrm{MeV}$、電荷 $-e$、バリオン数 $1$、レプトン数 $0$）の崩壊を考える。終状態の粒子は、次の表の粒子だけから選ぶものとする（同じ種類の粒子を 2 個以上含んでもよい）。

ここで $p,n,\Lambda$ のバリオン数は $1$、それ以外の粒子のバリオン数は $0$ である。電子型レプトン数 $L_e$ は $e^{-},{\nu }_e$ が $+1$、$e^{+},{\bar{\nu }}_e$ が $-1$、ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ は ${\mu }^{-},{\nu }_{\mu }$ が $+1$、${\mu }^{+},{\bar{\nu }}_{\mu }$ が $-1$ で、他の粒子はどちらも $0$ である。

崩壊が起こりうる条件として、次の 2 つだけを課す。

• 電荷・バリオン数・$L_e$・$L_{\mu }$ がそれぞれ保存する（弱い相互作用による崩壊も考えるので、ストレンジネスは保存しなくてよい）。
• 終状態の粒子の静止エネルギーの和が、${\Sigma }^{-}$ の静止エネルギーより小さい。

角運動量やパリティなど、これ以外の選択則は考えない。終状態は、含まれる粒子の種類と個数の組（並べ方は区別しない）で区別する。終状態の粒子数が $2$ 個または $3$ 個であって、上の条件をすべて満たす終状態は何通りあるか。

静止している ${\tau }^{-}$ レプトン（静止質量 $1776.86\mathrm{MeV}/c^2$）が、ちょうど $4$ 個の粒子に崩壊する終状態を考える。終状態の粒子は、次の $17$ 種類から重複を許して選ぶものとする（括弧内は静止質量で、単位は $\mathrm{MeV}/c^2$）。

$$e^{-},e^{+}(0.511),{\mu }^{-},{\mu }^{+}(105.66),{\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu },{\nu }_{\tau },{\bar{\nu }}_{\tau }(0),$$
$${\pi }^{+},{\pi }^{-}(139.57),{\pi }^0(134.98),p,\bar{p}(938.27),n,\bar{n}(939.57)$$

量子数は次のとおりとする。$e^{-},{\nu }_e$ は電子型レプトン数 $L_e=+1$、${\mu }^{-},{\nu }_{\mu }$ はミュー型レプトン数 $L_{\mu }=+1$、${\tau }^{-},{\nu }_{\tau }$ はタウ型レプトン数 $L_{\tau }=+1$ をもち、それ以外のレプトン数は $0$ である。$p,n$ はバリオン数 $B=+1$ で、レプトン数は $0$ である。${\pi }^{+},{\pi }^{-},{\pi }^0$ は $B=0$ で、レプトン数はすべて $0$ である。反粒子は、電荷・$B$・各レプトン数の符号が粒子と逆である（${\pi }^{+}$ と ${\pi }^{-}$ は互いに反粒子、${\pi }^0$ は自身が反粒子）。電荷は $e^{-},{\mu }^{-},{\tau }^{-},{\pi }^{-},\bar{p}$ が $-1$、$e^{+},{\mu }^{+},{\pi }^{+},p$ が $+1$、そのほかは $0$（電気素量単位）である。

崩壊が許されるための条件は、電荷・バリオン数 $B$・$L_e$・$L_{\mu }$・$L_{\tau }$ がそれぞれ保存されることと、終状態の粒子の静止質量の和が ${\tau }^{-}$ の静止質量より小さいこと（エネルギー保存）だけとする。角運動量や相互作用の種類による制限は考えない。終状態は、粒子の種類とその個数の組（順序は区別しない）で区別する。このとき、許される $4$ 粒子終状態は何通りあるか。