原子核・素粒子の問題

始状態 ${\tau }^{-}$ の量子数は $Q=-1,B=0,L_e=0,L_{\mu }=0,L_{\tau }=+1$ である。終状態の $4$ 粒子の量子数の和がこれに一致し、静止質量の和が $1776.86\mathrm{MeV}/c^2$ 未満であればよい。

バリオンの排除　終状態の $B=0$ を、バリオンを含んで満たすには、バリオンと反バリオンを同数ずつ（$1$ 個ずつ、または $2$ 個ずつ）含む必要がある。その静止質量の和は最小でも $2\times 938.27=1876.54\mathrm{MeV}/c^2>1776.86\mathrm{MeV}/c^2$ なので、エネルギー保存を満たさない。よって終状態はレプトンとパイ中間子だけからなる。

$L_{\tau }$ の条件　$L_{\tau }$ をもつのは ${\nu }_{\tau }(+1)$ と ${\bar{\nu }}_{\tau }(-1)$ だけなので、$({\nu }_{\tau }\text{ の個数})-({\bar{\nu }}_{\tau }\text{ の個数})=1$ が必要である。$4$ 個の範囲では次の $2$ 通りに限られる。

(a) ${\nu }_{\tau }$ が $1$ 個、${\bar{\nu }}_{\tau }$ が $0$ 個で、残り $3$ 個は ${\nu }_{\tau },{\bar{\nu }}_{\tau }$ 以外。

(b) ${\nu }_{\tau }$ が $2$ 個、${\bar{\nu }}_{\tau }$ が $1$ 個で、残り $1$ 個は ${\nu }_{\tau },{\bar{\nu }}_{\tau }$ 以外。

${\nu }_{\tau }$ と ${\bar{\nu }}_{\tau }$ は電荷 $0$ で $L_e=L_{\mu }=0$ なので、どちらの場合も残りの粒子は全体で $Q=-1,L_e=0,L_{\mu }=0$ を満たさなければならない。

(b) の場合　残り $1$ 個が $Q=-1,L_e=L_{\mu }=0$ をもつ。$e,\mu$ 系のレプトンは $L_e$ か $L_{\mu }$ が $\pm 1$ なので不適で、条件を満たすのは ${\pi }^{-}$ だけである。よって ${\nu }_{\tau }{\nu }_{\tau }{\bar{\nu }}_{\tau }{\pi }^{-}$ の $1$ 通りとなる（質量和 $139.57$ で可）。

(a) の場合　残り $3$ 個のうちパイ中間子の個数を $k$ とし、残りの $3-k$ 個を $e,\mu$ 系のレプトンとする。各レプトンは $L_e$ か $L_{\mu }$ のどちらか一方に $\pm 1$ を与えるので、$L_e+L_{\mu }$ の偶奇はレプトンの個数の偶奇に等しい。$L_e=L_{\mu }=0$ には $L_e+L_{\mu }=0$（偶数）が必要なので、レプトンの個数 $3-k$ は偶数でなければならず、$k=1$ または $k=3$ となる。

• $k=3$：$3$ 個のパイ中間子の電荷の和が $-1$ になる。${\pi }^{+},{\pi }^{-},{\pi }^0$ の個数を $n_{+},n_{-},n_0$ とすると、$n_{+}+n_{-}+n_0=3$、$n_{+}-n_{-}=-1$ より $(n_{+},n_{-},n_0)=(0,1,2),(1,2,0)$ である。よって ${\pi }^{-}{\pi }^0{\pi }^0$ と ${\pi }^{+}{\pi }^{-}{\pi }^{-}$ の $2$ 通りとなる。
• $k=1$：$2$ 個のレプトンが $L_e=L_{\mu }=0$ を満たすには、同じ世代のレプトンと反レプトンの組でなければならない。そのような組と電荷は次のとおりである。
• 電荷 $0$：$e^{-}{e}^{+},{\nu }_e{\bar{\nu }}_e,{\mu }^{-}{\mu }^{+},{\nu }_{\mu }{\bar{\nu }}_{\mu }$
• 電荷 $-1$：$e^{-}{\bar{\nu }}_e,{\mu }^{-}{\bar{\nu }}_{\mu }$
• 電荷 $+1$：$e^{+}{\nu }_e,{\mu }^{+}{\nu }_{\mu }$

全体の電荷を $-1$ にするには、電荷 $0$ の組には ${\pi }^{-}$（$4$ 通り）、電荷 $-1$ の組には ${\pi }^0$（$2$ 通り）を合わせればよい。電荷 $+1$ の組には電荷 $-2$ のパイ中間子が必要で、これは存在しない。よって $6$ 通りとなる。

以上から (a) は $2+6=8$ 通りである。

エネルギーの確認　(a) で質量和が大きいのは ${\nu }_{\tau }{\pi }^{+}{\pi }^{-}{\pi }^{-}$ の $3\times 139.57=418.71$ と ${\nu }_{\tau }{\pi }^{-}{\mu }^{-}{\mu }^{+}$ の $139.57+2\times 105.66=350.89$ で、いずれも $1776.86$ より小さい。したがって (a)、(b) の終状態はすべてエネルギー的に許される。

許される終状態は次の $9$ 通りである。
$${\nu }_{\tau }{\pi }^{-}{e}^{-}{e}^{+},{\nu }_{\tau }{\pi }^{-}{\nu }_e{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\tau }{\pi }^{-}{\mu }^{-}{\mu }^{+},{\nu }_{\tau }{\pi }^{-}{\nu }_{\mu }{\bar{\nu }}_{\mu },{\nu }_{\tau }{\pi }^0{e}^{-}{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\tau }{\pi }^0{\mu }^{-}{\bar{\nu }}_{\mu },$$
$${\nu }_{\tau }{\pi }^{+}{\pi }^{-}{\pi }^{-},{\nu }_{\tau }{\pi }^{-}{\pi }^0{\pi }^0,{\nu }_{\tau }{\nu }_{\tau }{\bar{\nu }}_{\tau }{\pi }^{-}$$

よって答えは $9$ 通りである。

終状態の 4 粒子について、保存則を整理して数え上げる。

1. バリオンを含む場合: $B=0$ とするには、バリオンと反バリオンが対で必要になる。最小の質量の和は $2\times 938.27=1876.54>1776.86\mathrm{MeV}/c^2$ なので、エネルギー保存に反する。よりバリオンを含まない終状態だけを考えればよい。

2. $L_{\tau }=+1$ を担うのは ${\nu }_{\tau }$（$+1$）と ${\bar{\nu }}_{\tau }$（$-1$）だけである。${\nu }_{\tau }$ の個数を $a$、${\bar{\nu }}_{\tau }$ の個数を $b$ とすると $a-b=1$。粒子数が 4 なので $(a,b)=(1,0)$ または $(2,1)$。

3. $(a,b)=(2,1)$ の場合: 残り 1 個の粒子 $X$ は電荷 $-1$、$L_e=L_{\mu }=0$、$B=0$ でなければならない。該当するのは ${\pi }^{-}$ のみ。よって ${\nu }_{\tau }{\nu }_{\tau }{\bar{\nu }}_{\tau }{\pi }^{-}$ の 1 通り。質量の和は $139.57<1776.86$ で許される。

4. $(a,b)=(1,0)$ の場合: ${\nu }_{\tau }$ と、$\{e^{\pm },{\mu }^{\pm },{\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu },{\pi }^{\pm },{\pi }^0\}$ から選ぶ 3 粒子で、合計が電荷 $-1$、$L_e=0$、$L_{\mu }=0$ となる組を数える。質量の和は最大でも $3\times 139.57\mathrm{MeV}/c^2$ 程度なので、エネルギー保存は常に満たされる。

電荷 $-1$ となる 3 粒子の構成は、(負電荷 1 個, 中性 2 個) か (負電荷 2 個, 正電荷 1 個) のどちらかである。

(a) 負電荷 2 個と正電荷 1 個の場合:
- $e^{-}{\pi }^{-}{e}^{+}$
- ${\mu }^{-}{\pi }^{-}{\mu }^{+}$
- ${\pi }^{-}{\pi }^{-}{\pi }^{+}$

以上 3 通り。

(b) 負電荷 1 個と中性 2 個の場合:
- $e^{-}{\bar{\nu }}_e{\pi }^0$
- ${\mu }^{-}{\bar{\nu }}_{\mu }{\pi }^0$
- ${\pi }^{-}{\pi }^0{\pi }^0$
- ${\pi }^{-}{\nu }_e{\bar{\nu }}_e$
- ${\pi }^{-}{\nu }_{\mu }{\bar{\nu }}_{\mu }$

以上 5 通り。

合わせて $3+5=8$ 通り。

5. 合計は $8+1=9$ 通り。

検算: 例として ${\tau }^{-}\to {\nu }_{\tau }{\pi }^{-}{\pi }^0{\pi }^0$ は電荷 $-1$、$L_{\tau }=1$ で保存則を満たす。また ${\nu }_{\tau }{\nu }_{\tau }{\bar{\nu }}_{\tau }{\pi }^{-}$ は $L_{\tau }=2-1=1$、電荷 $-1$ で保存則を満たす。